Условия на Коши - Риман
Условия на Коши - Риман, също наричан д’Аламбер - условия на Ойлер Дали връзките свързват реалните u = u (x, y) и въображаемите v = v (x, y) части на която и да е диференцируема функция на сложна променлива w = f (z) = u + iv, \ z = x + iy .
Съдържание
Формулиране
Декартови координати
За да може функцията w = f (z), дефинирана в някаква област D на комплексната равнина, да бъде диференцируема в точката z_0 = x_0 + iy_0 като функция на комплексната променлива z, е необходимо и достатъчно, че нейната реална и въображаема части u и v да бъдат диференцируеми в точка (x_0, y_0) като функция от реални променливи x и y и така, че освен това условията на Коши - Риман са изпълнени в този момент:
Ако са изпълнени условията на Коши - Риман, производното f '(z) може да бъде представено във всяка от следните форми:
Доказателства
1. Необходимост
Според хипотезата на теоремата има ограничение
независимо от начина, по който \ Delta z клони към нула. Поставете \ Delta z = \ Delta x и разгледайте израза
Съществуването на границата на сложен израз предполага съществуването на неговите реални и въображаеми части. К: Уикипедия: Статии без източници (тип: не е посочен) [източник не е посочен 1860 дни] Следователно в точката x_0, y_0 има частични производни по отношение на x на функциите u (x, y) и v (x, y) и има следната формула:
f '(z_0) = u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0)
Задаваме \ Delta z = i \ Delta y, намираме
Сравнявайки последните две формули, ние сме убедени в валидността на условията на Коши-Риман.
2. Достатъчност
Чрез дефиницията на диференцируемост, нарастванията на функциите u (x, y) и v (x, y) в съседство на точката (x_0, y_0) могат да бъдат записани във формата
u (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y) -u (x_0, y_0) = u_x (x_0, y_0) \ Delta x + u_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ xi (x, y), v (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y) -v (x_0, y_0) = v_x (x_0, y_0) \ Delta x + v_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ eta (x, y),
където функциите \ xi (x, y) и \ eta (x, y) са склонни към нула при x \ rightarrow x_0, y \ rightarrow y_0 по-бързо от \ Delta x и \ Delta y \ qquad \ ляво (\ lim \ limit_ \ frac = 0 \ дясно., \ Lim \ Limits_ \ frac = 0, \ ляво. | \ Delta z | = \ sqrt \ дясно). Нека сега съставим съотношението на разликата \ frac, където \ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y и го преобразуваме във формата
Имайте предвид, че \ Delta z има тенденция към нула, последният член на тази формула има тенденция към нула, а първият остава непроменен. Следователно има ограничение \ lim \ limite_ \ frac = f '(z_0), което доказва диференцируемостта на функцията f (z) в точката z_0 .
В полярни координати
В полярната координатна система (r, \ varphi) условията на Коши-Риман изглеждат така:
Представяме оригиналната функция като
f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) .
Изразяване на декартови координати от гледна точка на полярна
\ наляво \ < \beginx = r\cos\alpha;\\ y = r\sin\alpha . \end \right.