УНИВЕРСАЛЕН АЛГОРИТЪМ ЗА ЕДИННО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ТОЧКИ НА АРБИТРАЛНИ АНАЛИТИЧНИ ПОВЪРХНОСТИ
Проблемът за равномерното разпределение на точките на различни повърхности е от голямо значение за много приложни изследвания. Важно е за области като математическо моделиране, числени методи, компютърна графика, технологии за армиране и флокиране на структурно нехомогенни среди и др.
Поради своята изменчивост и голям потенциал за приложение, проблемът сега надхвърля спомагателната задача на частните интерпретации и започва да придобива оттенъци от общо теоретично значение. Географията на творбите, посветени на този проблем, е широко представена и броят на творбите непрекъснато се увеличава.
Най-ясната постановка на разглеждания проблем, възможните начини за неговото решаване са илюстрирани в един от специалните случаи - проблемът за равномерното разпределение на точките на повърхността на сфера [9, 11–13]. От средата на 20-ти век във водещи световни научни публикации като списанията Biometrics, Annals of Mathematical Statistics и др. Започват да се появяват трудове, описващи различни подходи за решаване на проблемите на равномерното разпределение на точките на повърхността на сферата и др. В резултат на многогодишни изследвания тези алгоритми започнаха да се включват във вече класическите трудове по теория на вероятностите, математическа статистика и методи на Монте Карло [11]. Трябва също да се отбележи, че проблемът за равномерното разпределение на точките на повърхността на сфера е тясно свързан с един от най-големите математически проблеми на 21 век, включен в списъка на Стивън Смейл (седми проблем на Смейлс [7, 8 ]). Отделна страница в популярната математическа интернет енциклопедия Wolfram MathWorld [13] също е посветена на проблема. Наред с феноменологичните подходи за решаване на проблема за равномерното разпределение на точките на повърхността на сферата [7, 8], се използват методи за статистическо моделиране [9, 12, 13]. В допълнение към алгоритмите за равномерно разпределение на точките на повърхността на сфера в триизмерното "физическо" пространство, има и много произведения, посветени на решаването на подобен проблем за случая с многомерно пространство. Особено внимание заслужава работата "Симулация на случайни разпределения върху повърхности" (G. Melfi, G. Schoier, [10]), която предлага метод за равномерно разпределение на точки, вече на повърхности, дефинирани изрично като функция z = z ( x, y).
Алгоритъмът се основава на метода на статистическо моделиране, който се състои в генериране на координатите на точките от аналитично изчислената функция на плътността на съвместното разпределение на параметри, съответстващи на равномерното разпределение на точките на повърхността. За генериране на стойността на двумерна случайна променлива се използва обобщеният метод на Нюман [8]. Всички алгоритми са внедрени в системата за компютърна математика (SCM) на Wolfram Mathematica 7.0 и в нея са получени всички визуални модели.
Обща постановка на проблема и методология за неговото решаване
Очевидно е, че не е трудно да се разпределят равномерно точки на равнината, достатъчно е да се поставят във възлите на координатната мрежа или да се генерират координати с помощта на референтен генератор на случайна променлива с равномерно разпределение на даден сегмент. Също така е лесно да се реши проблемът с равномерното разпределение на точките върху разгънати повърхности, като конуси, цилиндри, повърхности на торса. В случай на неразвиваеми повърхности - елипсоид, сфера, тор, параболоид и др. - задачата става много по-сложна.
Целта на изследването беше да се получи универсален алгоритъм за равномерно разпределение на точки върху аналитични повърхности с ненулева гауссова кривина, даден от параметричния метод, и да се илюстрират равномерни разпределения върху повърхностите на сфера, торус, хеликоид, "Падаща капка ", Бутилка Klein.
Обърнете внимание, че понятието "равномерно разпределение на точки на повърхността" означава такова разпределение, при което еднакъв брой точки е разположен върху два произволни повърхностни елемента с еднакви площи. Тъй като се предполага разпределение на голям брой точки, за решаване на проблема се използват методи на статистическо моделиране. За всяка повърхност се намира функцията на плътност на съвместното разпределение на параметрите, която удовлетворява равномерното разпределение на точките на разглежданата повърхност.
За да се намери функцията на плътността на съвместното разпределение, се използват възможностите на символната математика на пакета Wolfram Mathematica 7.0. Тези инструменти ви позволяват да подобрите числените алгоритми (числено интегриране, намиране на екстремуми на функции и т.н.) чрез символни изчисления (например намиране на производни в общ вид), което прави алгоритмите изключително гъвкави.
Намиране на функцията на плътността на съвместното разпределение на вероятностите, когато се описва равномерното разпределение на точките върху произволни повърхности