Теорема на Виета
Франсоа Виет е роден през 1540 г. във Франция във Фонтеней-ле-Конт. Адвокат по образование. Той практикува много застъпничество и от 1571 до 1584 г. е съветник на кралете Джордж III и Георг IV. Но той посвети цялото си свободно време, цялото си свободно време на изучаване на математика и астрономия. Той започва да работи особено усилено в областта на математиката през 1584 г. след отстраняването му от длъжност в кралския двор. Виет изучава подробно трудовете както на древни, така и на съвременни математици.
Франсоа Виет по същество създава нова алгебра. Той въведе азбучни символи в него. Основните му идеи са изложени в работата „Въведение в аналитичното изкуство“. Той пише: „Всички математици знаеха, че под тяхната алгебра и алмукабала са скрити несравними съкровища, но те не знаеха как да ги намерят: проблемите, които те смятаха за най-трудни, се решават доста лесно с помощта на нашето изкуство“.
Всъщност всички знаем колко лесно е да се решат например квадратни уравнения. Има готови формули за тяхното решение. Преди Ф. Виета, решението на всяко квадратно уравнение се извършваше по собствени правила под формата на много дълги словесни аргументи и описания, доста тромави действия. Дори самото уравнение в съвременната му форма не може да бъде записано. Това също изискваше доста дълго и сложно словесно описание. Необходими бяха години, за да се овладеят техниките за решаване на уравнения. Нямаше общи правила, подобни на съвременните, камо ли формули за решаване на уравнения. Постоянните коефициенти не са посочени с букви. Бяха разгледани само изрази със специфични числови коефициенти.
Виет въведе азбучен символизъм в алгебрата. След иновацията на Vieta стана възможно да се напишат правила под формата на формули. Вярно е, че показателите за степента на Vieta също са обозначени с думи и това създава известни трудности при решаването на някои проблеми. По времето на Виет предлагането на номера все още беше ограничено. Франсоа Виет даде много подробен разказ за теорията за решаване на уравнения от първа до четвърта степен.
Голямата заслуга на Виет беше откриването на връзката между корените и коефициентите на уравненията на намалената форма на произволна естествена степен. Ние добре познаваме известната теорема на Виета за редуцирано квадратно уравнение: „сумата от корените на квадратното уравнение на редуцирана форма е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, и произведението на корените на това уравнение е равно на свободния срок. " Тази теорема дава възможност вербално да се провери правилността на решението на квадратните уравнения и в най-простите случаи да се намерят корените на уравненията.
Обърнете внимание също, че Виет даде първото в Европа аналитично (използвайки формула) представяне на числото π.
Виет умира на 63-годишна възраст през 1603 година.
Сборът от корените на квадратния трином x2 + px + q е равен на втория му коефициент p с противоположния знак, а произведението е равно на свободния член q.
Нека x1 и x2 са различни корени на квадратния трином x2 + px + q. Теоремата на Виета гласи, че са налице следните отношения: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
За доказателство заместваме всеки от корените в израза за квадратния трином. Получаваме две правилни числови равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Нека извадим тези равенства един от друг. Получаваме x12 - x22 + p (x1 - x2) = 0
Разширяваме разликата на квадратите и едновременно прехвърляме втория член в дясната страна:
(x1 - x2) (x1 + x2) = –p (x1 - x2)
Тъй като по хипотеза корените x1 и x2 са различни, тогава x1 - x2 ≠ 0 и можем да разделим равенството на x1 - x2. Получаваме първото равенство на теоремата: x1 + x2 = –p