Решаване на проблеми по метода на д’Аламбер
Препис
1 Решаване на проблеми по метода на д’Аламбер. Известно е, че решението на задачата на Коши за вълновото уравнение: uau + f (u ϕ (u (ψ (. Дадено е от формулата на д’Аламбер: a + a (τ ϕ a + ϕ + a + u ( + ψ (y dy + dτ f (y τ dy. (aaaa (τ Използвайки формулата (решаваме следните примери: Пример. Решаване на задачата: uuu + u (sin. Използваме формулата на д’Аламбер. В нашия случай ϕ (ψ (sin f (a. + Заместване във формулата) (получаваме: + + u (+ + sin ydy (((cos (+ cos ((a (sin sin. (+ + ( +
2 Пример. Решете проблема: uau (lu (ll (ll u (. L) В случая на този проблем, ϕ ((l ψ (f (. L (ll) Разделете равнината на променливите) на няколко части с прави линии + a -a + al -al + al -al. В този случай горната полу равнина (> ще бъде разделена на части -: -a -al -al l/a + al + al 8 9 + al/всички В тези части изпълняват следните неравенства: В частта: + a + a> -a + a> l> -a> (тъй като тази част се намира между редовете + a + al и между редовете -a -al, следователно ϕ ϕ ϕ (a + ϕ (+ a и u (aa + a + a. В част 4: l> + a> ll> -a + a> ll> -all> -a> l следователно ϕ (al (a ϕ (+ a ϕ и (a + ϕ + ual a. В част 7: + a> l -a> l следователно ϕ (a ϕ (+ a (a + ϕ (+ a ϕ и u (. В част 8: l> + a> l -al -all> -alu (al. Отново използваме формулата (. 4
5 В нашия пример f (ϕ (ψ (може да се пренапише като: all + a (u (dy (y dy Ψ (+ a Ψ (aaa (по формулата на Нютон-Лайбниц), където Ψ (е антидериватът на функцията ψ (a по формулата: Ψ (ψ (y dy. Нека изчислим функцията (Ψ (Ψ: изчислена ay (a dy llaaalllll ay l (ψ (y dy + ψ (y dy ((a dy + dy l. Сега, подобно на начина, по който го направихме в примера), разделете горната полуплоскост на прави линии + a -a + al -al + al -al.В области и 8, само обратна вълна действа в области и 6 - само вълна напред в зони 3 4 и 5 действа както напред, така и назад, но действията им не се събират, както в предишния пример, а се изважда от Ψ (+ a (а на области 9 и 7 вълната не обхват. Ψ и до 5
6 9 + a + al -al 8 -a + al -al ll Въз основа на формата на функцията Ψ (получаваме: (+ a (3 + a Ψ + a (4 58 l (96 7 Заместване на тези функции в формула (получаваме: u ((a (34 a Ψ a (56 l (897. u ((+ al/u ((l- + a/u (- (+ a + l/u (u ((- а + l/u (u (-au (au (6
7 Метод за продължаване. При решаване на задачи на полулинията се използва методът на удължаване. Тя се основава на следното. Нека функцията U (решението на задачата на Коши: U a UU (Φ ((3 U (Ψ (. Можете да докажете лемата: Лема. Ако функциите Φ (и (условие U (и ако функцията (Ψ е нечетното решение U (на задачата (3 удовлетворява Φ и Ψ (дори тогава решението U (на задача (3 отговаря на условието: U (. Следователно, ако решим задачата на Дирихле на полулинията): uauu (ϕ (u (ψ ((4 u (: ϕ (ψ (Φ (и Ψ (. ϕ (> тъй като за> функциите U (и u (отговарят на същото уравнение и същите начални условия) и граничната дума u (за функцията u (автоматично ще бъде получена от лемата. Нека сега решим задачата на Нойман: 7
8 uauu (ϕ (u (ψ ((6 u (: ϕ (ψ (Ψ (и Ψ (. Φ (: u (u (>>. Пример 4. Намерете решението на задачата на Дирихле за вълновото уравнение на полулиния: uauu (u (sin (7 u (sin> Φ (Ψ (. Ако -a> тогава още повече + a> и ако променливата y е в диапазона от -a до + a), тогава променливата y във формулата (5 е положителна. Следователно, ако> a, тогава Φ (a (a Φ (+ a (+ a Ψ (y sin y 8
24 (fg (F (G (където ((fg (f (sg (s ds fg + fg FG (F (за. F (f за (3 3. Таблица с изображения на основните функции). Предполагаме, че всички функции на вляво са равни на нула за отрицателни стойности на аргумента, т.е. са оригинали. Оригинално изображение nn! n + n-цяло число положително 3 e α α 4 n α enn! (α n-цяло число положително 5 α β ee α β ( α (β 6 cosα + α 7 sinα α + α 8 chα 9 shα α e cos β α e sin β α α α α α + β β α + β 4
25 α e ch β 3 α e sh β 4 α Γ α + (α α β a където Γ α ed е гама функцията Reα> n N естествена Γ n + n! За β α β α + 5 α Γ + (α e β (β α + a Γ α ed, където е гама функцията Reα> 6 α β γ (β γ e + (γ α e + (α β e (α β (β γ (γ α 7 cosα 8 sinα 9 cosα cosα cos (α (β (γ α (+ α α (+ α (+ α β (β α (+ α (+ β α α α sin sh α + α α α α cos ch + α α
26 3 4 5 e (+ Φ където y Φ (ze dy е интегралът на грешката z 6 e Φ (където y Φ (ze dy е интегралът на грешката 7 J (a където JJ (z е функцията на Бесел kk ((kk 8 J (ia, където J (J (k! Функцията на Бесел kk ((kk 9 nn! Jn (a (n! Къде J (n (k! Функция на Бесел) (+ (+ + aaan n + (+ ankk Jn (( nkkk! Γ (k + n + 3 e ln + 3 cos aa 4 en> 6
27 3 sina a 33 ae 4 34 aaea Φ където zy Φ (ze dy е интегралът на грешките 36 J (a 37 където JJ (функция на Бесел kk ((kkn където nnn (J aa J (k! Nnk Jn (nkk 38 4 e функция на Бесел kk! Γ k + n + eea 4 3 aeaaaea> eea 4 a 4 n + n> eed Има таблици, в които са показани много други функции.
28 (Например в Наръчника по оперативно изчисление на В. А. Диткин и П. И. Кузнецов 4. Възстановяване на оригинала от изображението. Метод. Използване на свойствата на преобразуването на Фурие и таблицата на изображенията. Например, тъй като cos sin + cos + + sin + (cos sin (cossin (d + + (sin (+ + sin (d (sin (sin (d sin cos + cos (sin + cos sin + cos (+ 4 начин. Използвайки теоремата за разлагането)): F f res e F (kk сумирането е върху всички единични точки и 3 (e + e Например (k функция F (. тъй като функцията има две особени точки - полюс 8
29 от първия ред и 3 е полюсът от втория ред, така че eef (e F (res + res 3 3 (kkee lim (lim (3 3 3! ((3 eeeeee + e lim + lim + lim. (Заявление на оперативното смятане към решение на уравненията на частичните диференции Пример: Решаване на задача за гранична стойност: u + uu (ψ (ако пръчката е полу-безкрайна (в линията, ако началното напрежение и началният ток в нея са равни. Помислете за случай на линия без загуби. au u ψ (cos + ψ (sin + f (ss sin sds aaaaau ha ahτ ee ϕ τ d τ и F (нейното преобразуване на Фурие) Нека бъде непрекъснато и абсолютно интегрируемо на (за всички стойности На параметъра> частичната производна if (и интегралът f (ed се сближава равномерно във всеки интервал (34