Реална, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, задвижвана от Wikia

Истински или истински [1] Числата са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне на физически величини. Такова число може да бъде представено интуитивно като описващо положението на точка на права.

Наборът от реални числа се обозначава $ \ R $ (Unicode: ℝ) и често се нарича реална линия.

Реалните числа се делят на рационални и ирационални.

По отношение на операциите на събиране и умножение реалните числа образуват поле. Полето с реални числа е най-важният обект на математическия анализ.

Съдържание

Примери Редактиране

  • Рационални числа - 32, 36/29.
  • Ирационални числа - $ \ pi $, $ \ sqrt 2 $ .

Определения Редактиране

Има няколко стандартни начина за определяне на реални числа:

Аксиоматично определение

Наборът от реални числа $ \ mathbb $ може да бъде дефиниран като топологично завършено подредено поле, тоест поле със съотношението $ \ leqslant $, което отговаря на следните аксиоми:

  1. Релацията $ \ leqslant $ е линейна връзка за подреждане:
    • За всеки $ a, \; b \ in \ mathbb $ $ a \ leqslant b $ или $ b \ leqslant a $;
    • Ако $ a \ leqslant b $ и $ b \ leqslant a $, тогава $ a = b $ за всеки $ a, \; b \ in \ mathbb $;
    • Ако $ a \ leqslant b $ и $ b \ leqslant c $, тогава $ a \ leqslant c $ за всеки $ a, \; b, \; c \ in \ mathbb $;
  2. Поръчката съответства на структурата на полето:
    • Ако $ a \ leqslant b $, тогава $ a + c \ leqslant b + c $ за всеки $ a, \; b, \; c \ в \ mathbb $;
    • Ако $ 0 \ leqslant a $ и $ 0 \ leqslant b $, тогава $ 0 \ leqslant ab $ .
  3. Подреждането на $ \ mathbb $ отговаря на условието за пълнота:
    • Нека $ A, \; B \ subset \ mathbb $ са непразни подмножества, така че $ a \ leqslant b $ за всеки $ a \ в A $ и $ b \ в B $, тогава съществува $ c \ in \ mathbb $ такова, че $ a \ leqslant c \ leqslant b $ за всеки $ a \ в A $ и $ b \ в B $ .

Редактиране на бележки

Свойство 3 предполага, че всяко непразно горно ограничено множество $ A \ subset \ Bbb $ (т.е. такова, че за всички $ x $ от $ A $ всички $ x \ leqslant a $ за някои $ a \ in \ mathbb $) съществуват точен горен ръб (минималното от всички), тоест числото $ c \ in \ mathbb $ такова, че