Разреждане на кондензатор през резистор - Landesbildungsserver Баден-Вюртемберг
Ако учениците все още не са опознали експоненциалната функция в своя час по математика, те ще трябва да изберат подход към темата чрез моделиране с итеративно изчисление.
Ако експоненциалната функция е налична, можете също да следвате пътя, показан на тази страница, и да решите диференциалното уравнение от първи ред.
1.) Електрическата схема.
Процес на зареждане
Ако превключвателят е в позиция 1, кондензаторът се зарежда от източника чрез резистора.
Текущата посока е червен нарисуван. Това е обратно на часовниковата стрелка.
Процес на разтоварване
Ако превключвателят е настроен на позиция 2, източникът е "изключен". По-рано зареденият кондензатор сега се разрежда през същия резистор.
Текущата посока е зелено нарисуван. Това е по посока на часовниковата стрелка.
2.) Теория на кондензаторния разряд и диференциалното уравнение.
2.1.) Напрежението на кондензатора.
Следното се отнася за връзката между заряда Q на кондензатора и напрежението Uc:
По време на процеса на разреждане напрежението Uc на кондензатора е единственият източник във веригата.
Колкото повече се разрежда кондензаторът, толкова по-ниско става това напрежение.
2.2.) Колко голям е разрядният ток?
Следното се отнася за разрядния ток:
Знакът минус отчита, че текущият поток при разреждане има точно обратната посока, както при зареждане (виж по-горе)
2.3.) Силата на тока е свързана с промяната в заряда.
Силата на тока се изчислява съгласно уравнението от 2.2. определя се от текущото количество на заряда върху кондензаторните плочи Q (t).
Сега зарядът тече от кондензатора, т.е. количеството заряд Q (t) на кондензатора става все по-малко и по-малко. Следователно токът I (t) намалява все повече и повече.
В началото на процеса на разреждане от кондензатора всяка секунда изтича много заряд и по-малко заряд по-късно.
Прилага се следното:
Тази моментна сила на тока е аналогична на Настояща скорост в механиката.
Можете да научите повече за това на страницата Зареждане на кондензатор.
2.4.) Диференциалното уравнение на разряда.
Ако сега приравним (2) и (3), стигаме до Диференциално уравнение (DGL) 1-ви ред разрядът на кондензатора.
Познаваме формата на DGL от първи ред от математиката. DGL на функция за растеж има напр. форма
DGL по-горе изглежда подобно, вляво има производна, вдясно самата функция.
3.) Решението на диференциалното уравнение.
3.1.) Първа ориентация.
За да улесним търсенето на правилната функция, първо трябва да разгледаме стойностите на отделните променливи в самото начало и в самия край на процеса на разреждане.
кондензаторът е напълно зареден.
кондензаторът се разрежда.
3.2.) Правилната функция на решението.
Функцията на решението на диференциално уравнение е Експоненциална функция.
Тук не е нужно да знаем много за тях, но това е важно:
| Ако изведете експоненциална функция, тя се възпроизвежда до префактор. Постоянният коефициент в експонентата идва преди функцията. (Напомняне: f 'би било производно според координата на положението. Физиците използват точка f, за да обозначат производното според времето) | |
| За t = 0 s експоненциалната функция има стойността 1. (Това е като 10 0 = 1). | |
| При t = ∞ експоненциалната функция става 0. (Това също е като 10-голямо число = 0). |
Каква е правилната функция на решението?
С малко размисъл е лесно да излезете с правилната идея:
Ако искате, можете да комбинирате C * Uq, за да образувате първоначалното зареждане Qo.
За t = 0 s експоненциалната функция има стойността 1, така че получаваме първоначалния заряд Q (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
При t = ∞ експоненциалната функция става 0, така че зарядът на кондензатора също е 0.
3.3.) Какъв е правилният показател?
Но каква е стойността на фактора а в експонентата?
За да направим това, трябва да имаме предвид, че експонентата трябва да бъде безразмерна като цяло.
Тъй като времето t има измерение "s", a трябва да има измерение "1/s" и по някакъв начин да съдържа съпротивлението R и капацитета C.
За единиците, нека първо изпробваме произведението на R и C
(Необходимите уравнения за трансформациите са изброени по-горе):
Почти прав! Факторът а трябва да е точно реципрочният от него!
Така че функцията за решение е сега:
3.4.) Проба от разтвора.
Първо извличаме функцията:
. и го вмъкнете в диференциалното уравнение:
Очевидно нашият подход решава диференциалното уравнение. Открихме правилните характеристики на решението.
Така че те са:
4.) Полуживотът.
Процесът на разтоварване в началото е бърз. Обаче отнема безкрайно много време, докато кондензаторът се разреди 100%. Следователно няма смисъл да се посочва времето за разреждане.
Вместо това използвайте Време на полуразпад, това е времето, когато кондензаторът е само наполовина зареден, т.е. времето, необходимо за Uc = Uq/2. Прилага се следното:
Забележка:
Това е точно същото време, когато кондензаторът се зарежда наполовина по време на процеса на зареждане.
Следователно полуживотът по време на процеса на зареждане и процеса на разреждане са еднакви.
5. Обобщение.
Ето кривите и функциите за Процес на разтоварване обобщено: