Различни схеми - Страница 5
Решението, получено по схемата (11.52), е показано на фигура 11.13. Както показват тези резултати, тази схема запазва амплитудата, но изкривява формата на вълната. Освен това се появяват високочестотни трептения, които липсват в точното решение.
Фигура 11.13. Решение на уравнение (11.51) с гранични условия (11.53) във време t = 1 (l = 1, c = 1); - точно решение, - приблизително решение (h = 0,05,
Ясно е, че в границата h, τ → 0 приблизителното решение ще се стреми към точното, но в действителност работим с крайни стъпки в пространството и времето. В този случай анализът на сближаването не позволява да се получи по-пълна информация за свойствата на различната схема, като например разсейване и дисперсия. След това ще обсъдим метод за анализ на тези важни свойства.
11.3.2. Разсейване и разпръскване на разтвора на решетъчната вълна .
Преди да разгледаме разсейването и дисперсията на различното решение, трябва да определим тези свойства за уравнението на диференциалната вълна. За това вземаме решение във формата
u (x, t) = u 0 exp (i (ω t - kx)),
където ω = 2 πν е кръговата честота, k = 2 π/λ е числото на вълната. Ако заместим това решение в някакво уравнение на линейна вълна, ще получим зависимостта ω = ω (k), която се нарича дисперсионна връзка. Ако ω приема реални стойности, тогава амплитудите на хармониците не се променят с времето. В противен случай, когато ω отнема
комплексни стойности, вълната ще се разпада (разсейва) като exp (- (Im ω) t) = exp (- γ t). Поведение
наречена фазова скорост, тоест скоростта, с която се движи фазата или възелът на даден хармоник. Количеството
наречена групова скорост. Може да се тълкува като скорост на вълнов пакет, състоящ се от хармонични вълни с близки вълнови числа. Предаването на енергия във вълна се извършва с групова скорост. Ако фазовата (груповата) скорост зависи от k, тогава хармониците с различни вълнови числа се разпространяват с различни скорости. Това явление се нарича дисперсия. За уравнение (11.51) е лесно да се получи, че ω = ck и следователно c f = c g = c. Това означава, че точното решение на уравнението (11.51) е вълна, която се разпространява без затихване и разсейване. Друг пример: за линеаризираното уравнение на Бюргер