Равни множества

Ако множествата х и Y. равно, след това напишете х

Лесно е да се види, че множествата, разгледани в примери 1 и 2, са равни.

Както крайните, така и безкрайните множества могат да бъдат еднакво мощни. Също толкова мощни крайни множества се наричат ​​също равни. В началното образование по математика равенството се изразява с думите „същото“ и може да се използва за запознаване на учениците с много други понятия. Например, за да се въведе равенство на числата, се сравняват два множества, като се установява едно към едно съответствие между техните елементи. Например те пишат, че 5 = 5, тъй като има толкова кръгове, колкото квадратчета (фиг. 76).

Понятието за равен брой набори също лежи в основата на дефиницията на връзката „повече от. "И" по-малко от. ". Например, за да твърдите, че 6 е по-голямо от 4 по 2, сравнете две групи, установявайки едно към едно съответствие между множеството х, в които има 4 елемента и подмножеството Y., друго множество Y., в които има 6 елемента (фиг. 77) и те правят заключението: има толкова триъгълници, колкото са кръговете, и 2. С други думи, има още 2 триъгълника от кръговете.

Както вече споменахме, безкрайните множества могат да бъдат еднакво мощни. Нека дадем примери за такива набори.

Пример 3. Нека бъде х - набор от точки на отсечка AB, Y. - набор от точки на отсечка CD, а дължините на сегментите са различни. Тъй като е възможно да се установи едно-към-едно съответствие между тези множества (фиг. 78), множествата от точки на сегмента AB и CD равен.

Пример 4. Помислете за комплекта нестествени числа и множеството Y. - дори естествени числа. Те са еднакво мощни, тъй като между техните елементи може да се установи кореспонденция едно към едно:

н: 1 2 3 ... н ...

На пръв поглед изглежда парадоксално, че е възможно да се установят индивидуални съответствия между множество и неговата част: за крайни множества такава ситуация е невъзможна. Математиката обаче е доказала, че за безкрайно множество И винаги има такова подмножество от него Б., какво е между тях И и IN можете да установите индивидуална кореспонденция. Понякога това твърдение се счита за определение на безкраен набор.

Ако безкрайно множество е равно на множество н естествени числа, тя се нарича преброима. Всяко безкрайно подмножество на множеството н брояемо: за да се номерират елементите му, е необходимо да се подредят елементите на подмножеството във възходящ ред и да се номерират един след друг (тоест както е направено в пример 4). И така, множеството от всички нечетни естествени числа е преброено, множеството от естествени числа, делими на 5 и т.н. Множествата от всички цели числа, всички рационални.

Има ли комплекти, различни от брояеми? Доказано е, че безкрайно множество, което не е равно на множеството н естествени числа е множеството R всички реални числа.

Упражнения

един.Използвайте графиката, за да дефинирате три съответствия между множествата X = и Y. = така че един от тях да е едно към едно.