Приложение на диаграмите на Ойлер-Вен при решаване на логически задачи
На Ленард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате по Кьонигсберг, да се заобиколят всички мостове на града, без да се минава през нито един от тях два пъти. Приложен е градски план със седем моста.
В писмо до познат италиански математик Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете на Кьонигсберг: при такова подреждане проблемът е нерешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, тъй като „Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни за решаването му. ".
При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява комплекти с помощта на кръгове, поради което те получават името Кръговете на Ойлер. Този метод се използва още по-рано от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги използва за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използва линейни схеми. Ойлер разработи метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграми на Вен и подобни схеми често се наричат диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.
Опитайте се да помолите учителите за помощ
Принцип на картографиране
Досега диаграмите на Ойлер-Вен се използват широко за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко множества. Диаграмите изобразяват всички $ 2 ^ n $ комбинации от n свойства. Например за $ n = 3 $ диаграмата изобразява три кръга с центрове в върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.
Логическите операции определят таблиците на истината. Диаграмата изобразява кръг с името на набора, който представлява, например $ A $. Областта в средата на кръга $ A $ ще означава, че изразът $ A $ е вярно, а областта извън кръга ще означава фалш. За да се покаже логическа операция, засенчете само онези области, в които стойностите на логическата операция за наборите $ A $ и $ B $ са верни.
Например, съвпадът от два множества $ A $ и $ B $ е истина само ако и двата набора са верни. В този случай на диаграмата резултатът от съвпадането на $ A $ и $ B $ ще бъде област в средата на кръговете, която едновременно принадлежи към множеството $ A $ и множеството $ B $ (пресичане на комплекти).
Задайте въпрос на специалисти и вземете
отговор за 15 минути!
Фигура 1. Съединение на множествата $ A $ и $ B $
Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства
Помислете как се прилага методът за изграждане на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства.
Нека докажем закона на дьо Морган, който се описва с равенството:
Нека представим с помощта на диаграми първо лявата страна на равенството: