Основа, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, задвижвана от Wikia

Основа - набор от вектори в линейно пространство, така че всеки вектор от пространството може да бъде уникално представен като тяхната линейна комбинация.

Има два основни типа дефиниции: Хамелова основа, и Основа на Шаудер. Базата на Хамел се използва главно в абстрактната алгебра (по-специално в линейната алгебра). Във функционалния анализ, по-специално за едно Хилбертово пространство, база обикновено се разбира като основа на Шаудер, концепция, базирана на разширение на сериите. В случая, когато пространството има крайна основа (т.е. пространството е с краен размер), и двете разновидности съвпадат.

Съдържание

Hamel Basis Edit

Хамелова основа (англ. Хамелова основа ) Е набор от вектори в линейно пространство, така че всеки вектор от пространството може да бъде представен под формата на някои от техните крайни линейни комбинации (пълнота базис), докато никой от базисните вектори не може да бъде представен като крайна линейна комбинация от останалите (линейна независимост).

Редактиране на свойства

• Във всяко линейно пространство има основа (доказателството на тази теорема обикновено е неконструктивно и използва избраната аксиома).
• Базите са линейно независими системи от вектори, които са максимално включени, и само те.
• Основите са цялостните системи от вектори, които са минимални по отношение на включването, и само те.
• Единствената тривиална (равна на нула) линейна комбинация от базисни вектори е възможна само за тривиален набор от коефициенти.
• За всеки вектор има уникално представяне под формата на крайна линейна комбинация от базисни вектори.
• Мощността на база не зависи от избора на вектори на бази и се извиква измерение на пространството (обозначено с $ \ dim V $).

Свързани определения Редактиране

• Извиква се линейно пространство краен размер, ако има крайна основа, и безкраен, ако няма крайна основа.
• Извиква се представянето на вектор под формата на (крайна) линейна комбинация от базисни вектори разширяване на вектор в дадена основа Хамел.

Примери Редактиране

• Векторите $ e_1, e_2, \ dots, e_n $ от пространството $ \ R ^ n $ образуват основа тогава и само ако детерминантата на матрицата, съставена от тези вектори, не е 0: $ \ det \ \ neq 0 $ .
• В пространството на всички полиноми над полето една от основите се състои от степенни функции: $ 1, x, x ^ 2, \ dots, x ^ n, \ dots $ .
• Понятието основа се използва в случая с безкрайно измерение, например реалните числа образуват линейно пространство над рационални числа и има непрекъсната основа, основа на Хамел и съответно непрекъснато измерение.

Schauder Basis Edit

Извиква се система от вектори $ \ $ на топологично векторно пространство $ L $ Основа на Шаудер (англ. Shauder основа ) ако всеки елемент от $ f \ в L $ се разложи на само, поредица в $ \ $ сближаваща се до $ f $:

---