Определяне на истината
44. Какъв е естественият подпис за теорията на полето? Възможно ли е да напишете под формата на формула на този подпис твърдението, че полето има характеристика 2? крайната характеристика? алгебрично затворена?
3.2. Определяне на истината
От примерите, дадени по-горе, значението на формулата вероятно е ясно, тоест е ясно при кои интерпретации на този подпис и за кои елементи формулата е вярна. Въпреки това, за любителите на строгостта, ние даваме формално определение на истината. (Подробностите му ще са необходими, когато проверим истинността на получените формули, вижте раздел 4.3.)
На първо място, нека дефинираме формално концепцията за параметър на формула (променлива, от стойността на която може да зависи истинността на формула). Според тази дефиниция, да речем, формулата x y A (x; y) няма параметъра-
trov, а формулите y A (x; y) и (A (x) x B (x; x)) имат
единственият параметър x. Ето как изглежда дефиницията:
• Параметрите на даден термин са всички отделни променливи, включени в него.
• Параметрите на атомната формула са параметрите на всички членове, включени в нея.
• Параметрите на формулата ¬ 'са същите като тези на формулата'.
• Параметри на формули ('), (') и ('→)
са всички параметри на формулата ", както и всички параметри на формулата .
• Параметрите на формулите 'и' са всички параметри на формулата ', с изключение на променливата .
Параметрите понякога се наричат безплатни променливи на формула. Имайте предвид, че формула може да има както параметъра x, така и да използва (другаде) квантора x. Както се казва в случая, едно и също
94 Езици от първи ред [гл. 3]
същата променлива има свободни и свързани събития. Безплатно въвеждане на променлива | това е запис, който не е включен в обхвата на едноименния квантор. Ако внимателно дефинирате този обхват, е лесно да проверите дали параметрите на формулата | това са само променливи, които имат безплатни записи.
Сега искаме да дефинираме концепцията за формула, която е вярна в тази интерпретация за дадените стойности на параметрите. Технически е по-лесно да се приеме, че някои стойности са присвоени на всички отделни променливи, и след това да се докаже, че променливите, които не са параметри, не влияят на истинността на формулата.
Така че, нека подписът и някои тълкувания на този подпис бъдат фиксирани. Оценката е картографиране, което присвоява на всяка отделна променлива някакъв елемент от множеството, който е носител на интерпретацията. Този елемент ще се нарича стойността на променливата за тази оценка.
Нека дефинираме индуктивно стойността на члена t за тази оценка, която ще обозначим с [t] ().
• За променливи вече е дефиниран.
• Ако t е константа (функция с нулево място-
рационален символ), тогава [t] () не зависи и е равна на стойността на тази константа за дадена интерпретация (припомнете, при интерпретацията всяка константа е свързана с някакъв елемент на носителя).
• Ако t има формата f (t 1;::; t m), където f | функция-
националният символ на валентност m и t 1;::; t m | термини, тогава [t] () е [f] ([t 1] ();::; [tm] ()), където [f] е функцията, съответстваща на символа f в нашата интерпретация, и [ti ] () е стойността на термина ti при оценка .
Сега можете да определите стойността на формулата 'за дадена оценка в тази интерпретация, която се обозначава с ['] () и може да бъде равна на AND или L; В първия
случай формулата се нарича true, във втория | невярно. Това определение също е индуктивно:
• Определя се стойността на атомната формула A (t 1;::; t m)-
се представя като [A] ([t 1] ();::; [t m] ()), където [A] | предикатът, съответстващ на предикатния символ А в разглежданата интерпретация. Ако формулата е предикатен символ с нулево място, тогава нейната стойност не зависи от оценката и е стойността на този символ.
• [¬ '] () се дефинира като ¬ [' ()], където ¬ се разбира като операция в Б. С други думи, формулата ¬ '
е вярно при оценката, ако и само ако формулата 'е невярна при тази оценка.
• ['] () се дефинира като ['] () [] (), където от дясната страна се разбира като операция в Б. (С други думи, формула (') е вярна, когато се оценява дали и само ако и двете формули