Канонично уравнение на линията
(уравнение на права линия от две дадени точки).
Нека са известни две различни точки M0 (x0, y0) и M1 (x1, y1), лежащи на линията l.
За всяка точка M (x, y) на права линия l, насочените сегменти и са колинеарни, т.е. техните координати са пропорционални: = (***)
Сега вземаме точката N (x, y), чиито координати удовлетворяват равенство (***), тогава насочените отсечки ще бъдат колинеарни (тъй като техните координати са пропорционални), което означава, че точка N лежи на права линия (тъй като единствената права линия минава през тази точка, перпендикулярна на тази линия).
Обърнете внимание, че насоченият сегмент е представител на насочващия вектор на правата линия, т.е. координатите на насочения сегмент = (x1-x0, y1 -y0) са координатите на насочващия вектор на правия.
И така, ние доказахме следната теорема:
Теорема. Всяка права линия на равнина в декартова координатна система може да бъде определена чрез уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) (****), където (m, n) са координатите на направляващия вектор на правата линия, (x0, y0) са координатите на точка, принадлежаща на тази права.
Нека сега докажем обратното.
Теорема. Всяко уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) на равнина в декартова координатна система дефинира определена права линия, докато (m, n) са координатите на направляващия вектор на правата линия, (x0, y0 ) са координатите на точка, принадлежаща на тази права линия.
Доказателства.
Имайте предвид, че (x0, y0) е решение на уравнение (****).
Съществува линия с вектор на посока = (m, n), минаваща през точката M0 (x0, y0). По предходната теорема такава линия се дава от системата (****).
Определение. Уравнение на формата (m 2 + n 2 ≠ 0) ще се нарече канонично уравнение на линията.
Забележка (За видовете уравнения на права линия на равнина).
Има много други видове уравнения и методи за аналитично определяне на права линия на равнина: уравнение с наклон, уравнение в сегменти, нормално уравнение и т.н. По правило тези уравнения са частен случай на горните три уравнения или се свеждат до тях.
Упражнения.
един) Коя от точките A (0, -3), B (2,1), C (5.4), D (1,1), O (0,0) лежи на права линия, дадена от уравнението: (1) 2x + 5y -9 = 0; (2); (3); (4) 4x - 5y = 0?
2) Напишете и трите вида уравнение на линията l, ако е известно, че:
1) Правата l преминава през точката M (-1, 3) перпендикулярно на вектора = (2,5);
2) Правата l преминава през точката M (2,2), успоредна на вектора = (-1,5);
3) Правата l минава през точка М (2,2) и точка N (-4,5);
4) Правата l преминава през точка M (2, -1) успоредно на права m, която се дава от уравнението x + 4y - 5 = 0;
5) Правата l преминава през точка М (0,0) перпендикулярно на права m, която се дава от уравнението x + 4y - 5 = 0;