Изчислени числа
В математиката естествените числа, цели числа и рационални числа са конструктивни обекти, така че използването им в теорията на изчислимостта не изисква специални пояснения. В същото време реалните числа, необходими за прилагането на методи за математически анализ, се определят неконструктивно. Предложеният по-долу метод дава възможност за конструиране на структурни обекти, в много отношения подобни на обикновените реални числа.
Свойства [редактиране]
[математика] \ Longrightarrow [/ математика]
Ако [math] \ alpha [/ math] е рационален, тогава има тривиален разделител за [math] A [/ math], който просто сравнява получения резултат с [math] \ alpha [/ math]. В противен случай конструирайте резолвер за [math] A [/ math]:
[математика] \ Longleftarrow [/ математика]
Нека да конструираме функцията [math] a (\ varepsilon) [/ math] Тъй като [math] A [/ math] е разрешим, [math] \ alpha = \ sup A [/ math] и за всеки [math] x \ in Проверката [/ math] в условния оператор завършва за ограничено време, след което функцията [math] a (\ varepsilon) [/ math] е изчислима за всяка рационална [math] \ varepsilon [/ math] .
Важна забележка: доказателството, което сме конструирали, не е конструктивно, тъй като не знаем предварително дали числото [math] \ alpha [/ math] е рационално и още повече не се опитваме да разберем в случая на неговата рационалност какво точно тя е равна на. Но тъй като се стремим да изучаваме свойствата на изчислимите числа, а не да изграждаме изрично програми, съответстващи на тези свойства, това доказателство е напълно подходящо за нас.