HOMOLOGY GROUP е
топологично пространство - група, която е свързана с топологично. пространство с цел алгебрични. изследвайте неговата топологична. Имоти; тази кореспонденция трябва да отговаря на определени условия, най-важните от които са Стеенрода- Аксиомите на Айленберг (Вижте също Теория на хомологията). Първоначално Г. г. са конструирани въз основа на идеите на А. Поанкаре (Н. Поанкаре, 1895) за многогранници въз основа на тяхната триангулация, представяне под формата на симплициален комплекс (вж. Хомология на многогранника). Впоследствие, за да се обобщи концепцията за хомология и да се разшири областта на нейното приложение, бяха създадени няколко теории за хомология на произволни пространства, в които понятието за комплекс винаги се използва, но в по-сложна ситуация, отколкото в случай на триангулация . От тези теории две са основни: единична и спектрална. Първият е конструиран на базата на картографиране на многогранници в дадени пространства и е приложим главно за въпроси, при които полиедрите се картографират в произволни интервали, а вторият се основава на картографиране на всякакви пространства в полиедри и е особено полезен в приложения, в които такива картографирания възникне.
Идея единична хомология връща се към О. Веблен (О. Веблен, 1921), който основава дефиницията на хомологията на едно пространство, базирана на системи, състоящи се от полиедри, техните непрекъснати картографирания в дадено пространство и тяхната хомология. Тази идея породи две теории. Непосредственото му развитие доведе до групата на непрекъснатите класове по хомология. По-удобно, поради факта, че геометричните групи се дефинират от групи вериги, се оказва собствената геометрична група, определена от S. Lefschetz (S. Lefschetz, 1933) и свеждаща се до картографиране на ориентирани опростени в дадено пространство; по-нататъшното развитие на тази теория доведе до разглеждането на подредени опростени вместо ориентирани (S. Eilenberg, S. Eilenberg, 1944) и до кубични. хомология вместо опростени с помощта на кубчета (J. P. Serre, J. P. Serre, 1951). Всички тези разновидности на единствено число G. са изоморфни помежду си при много общи условия.
Спектрална хомология, покрития на пространството, базирани на хомологията на нервите, свързани в спектъра чрез естествени симплициални отражения на нервите, са въведени от П. С. Александров (1925 - 28), който за първи път разглежда компактните метрики. пространства и последователности на нервите на крайните покрития. Тази теория беше разширена до произволни пространства с помощта на произволни системи от нерви на отворени покрития от Е. Чех (), който също разчиташе на крайни покрития, което не винаги е подходящо в случай на некомпактни пространства.
Следователно от средата на 40-те. започнаха да използват безкрайни покрития. Въведеният Г. се нарича. от групата Александров - Чех (вж. Александрова - Чехомология и съхомология на Чех). Друго определение на G. за компактна метрика. пространства, базирани на ограничаващи процеси, е даден от L. Vietoris (1927) (вж. Хомология на Vietoris). За произволни пространства дефиницията на хомологичната група на Vietoris се основава на разглеждането на вложени покривни комплекси (т.нар. Vietorisians), чиито опростени са крайни системи от точки в пространството, принадлежащи към същия елемент на покритието. През 1935 г. А.Н. А. Н. Колмогоров също даде конструкцията на Г. г., базирана на зададени функции и двойствена на предишната; този G. за всяка група коефициенти е изоморфен на хомологичната група на Steenrod (вж. Двойствеността на Steenrod), а за компактна група коефициенти - хомологичната група Александров - Чех. Хомологичната група на Александров - Чех и хомологичната група на Vietoris са изоморфни. Хомологичната група на Vietoris и групата на кохомолозите на Александър-Колмогоров, които са обратните и преките граници на съответните двойни спектри, дадени в същия спектър на Vietoris, са двойни една на друга. В зависимост от това какъв вид геометрии са взети върху нервите и виеторианците при конструирането на съответните спектрални геометрии, се получават две разновидности от тях - проекционна и спектрална. В проекционния случай посочените групи се приемат като G. на верижния комплекс, което е границата на верижните комплекси от крайни подкомплекси на нерви и съответно на виеторианци; в спектралния случай, G. на посочените подкомплекси; в случай на дискретна група коефициенти, тези групи са изоморфни; за кохомологични групи - двойни.