Gpedia, Вашата енциклопедия

Алгебрично числово поле, алгебрично числово поле (или просто числово поле) Е крайно (а оттам и алгебрично) разширение на полето на рационалните числа Q>. По този начин числовото поле е поле, съдържащо Q> и е крайно измерно векторно пространство над него.

Числовите полета и по-общо алгебричните разширения на полето на рационалните числа са основният обект на изследване в алгебричната теория на числата.

Съдържание

  • Най-малкото и основно числово поле е полето на рационалните числа Q> .
  • Гаусовите рационални числа, обозначени с Q (i) (i)>, са първият нетривиален пример за числово поле. Неговите елементи са изрази на формата
a + b i, където a и b са рационални числа, i е въображаема единица. Такива изрази могат да се добавят и умножават според обичайните правила за действие със сложни числа и всеки ненулев елемент има обратна, както се вижда от равенството (a + bi) (aa 2 + b 2 - ba 2 + b 2 i) = (a + bi) (a - bi) a 2 + b 2 = 1. + b ^ >> - + b ^ >> i \ right) = + b ^ >> = 1.> Това означава, че рационално Гаусовите числа образуват поле, което е двумерно пространство над Q> (т.е. квадратно поле).
  • По-общо за всяко цяло квадратно число d Q (d) (>)> ще бъде квадратно разширение на полето Q> .
  • Кръговото поле Q (ζ n) (\ zeta _)> се получава чрез добавяне на примитивен корен към Q>н-та степен от един. Полето трябва също да съдържа всички негови степени (т.е. всички корени н-th степен на единство), нейното измерение над Q> е равно на функцията на Ойлер φ (n) .
  • Реалните и комплексните числа са с безкрайна степен над рационалните числа, така че те не са числови полета. Това произтича от неизброимостта: всяко числово поле се брои.
  • Полето на всички алгебрични числа A не е числово. Въпреки че разширението A ⊃ Q> е алгебрично, то не е крайно.

Тъй като числовото поле е алгебрично разширение на полето Q>, всеки от неговите елементи е корен на някакъв полином с рационални коефициенти (т.е. той е алгебричен). Освен това всеки елемент е корен от многочлен с целочислени коефициенти, тъй като всички рационални коефициенти могат да бъдат умножени по произведението на знаменателите. Ако дадения елемент е корен на някакъв унитарен полином с целочислени коефициенти, той се нарича цяло число елемент (или алгебрично цяло число). Не всички елементи на числово поле са цели числа: например, лесно е да се покаже, че единствените целочислени елементи на Q> са обикновени цели числа.