Функции и техните производни
Стойността на функция в точката на максимум (минимум) се нарича максимум (минимум) на функцията. Максимумът и минимумът на функция се наричат нейния екстремум.
Теорема 1 (необходими условия за екстремум). Ако в точката N0 (x0; y0) диференцируемата функция z = f (x, y) има екстремум, то нейните частични производни в тази точка са равни на нула: f'x (x0; y0) = 0, f ' y = (x0; y0) = 0.
Точката, в която частичните производни от първи ред на функцията z = f (x, y) са равни на нула, т.е. f'x = 0, f'y = 0, се нарича стационарна точка на функцията z (или точката на възможния екстремум). Стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частична производна, се наричат критични точки. В критични точки функцията може да има или да няма екстремум. Равенството на частичните производни на нула е необходимо, но недостатъчно условие за съществуването на екстремум. За да се намерят екстремумите на функция в дадена област, е необходимо да се подложи критичната точка на функцията на допълнителни изследвания.