Елементи на проективната геометрия Перспективна и проективна геометрия

Конични сечения

Това означава, че всички разсъждения и доказателства, при които се срещат бисектриси, перпендикуляри, кръгове, не могат да се използват в проективна геометрия. Всичко, което можем да си позволим, е сложна връзка между точки и прави линии, по-специално хармонични четворки. И на първо място е необходимо да се намери проективен аналог на кръга.

Помислете за централната проекция на окръжността върху равнината. Сноп от проекционни линии образува конична повърхност.

Следата, която тази конична повърхност образува, когато се пресича с равнина, е централната проекция на кръга. От геометрията на Евклид е известно, че коничните сечения са от три различни типа: елипса, парабола, хипербола.

От проективна гледна точка няма разлика между тях. Единствената разлика е в относителното положение на коничния участък (или, както често казват "коничните") и безкрайно отдалечената права линия. Елипсата е конично сечение, пресичащо безкрайно далечна права линия, парабола е конично сечение, докосващо безкрайно далечна права линия, и хипербола, ако пресича безкрайно далечна права линия. Асимптотите на хипербола са допирателни в безкрайните точки.

Тъй като линията в безкрайността не се различава от която и да е друга права линия в проективната равнина, няма разлика между елипса, парабола и хипербола на проективната равнина.

Сега нека дефинираме полюса на точка по отношение на произволно конично сечение. Тъй като за всяка проекция хармоничната четворка остава хармоничната четворка, дефиницията няма да претърпи значителни промени.

Взимаме произволна точка А на проективната равнина и чертаем през нея всички линии, пресичащи коничния разрез. За всеки хорд МР ще конструираме точка B, така че точки AB, МР да образуват хармонична четворка. Всички такива точки лежат на една права линия, която се нарича полюс на точка А спрямо коничния разрез. Всъщност с централната проекция кръгът преминава в коничен разрез, хармонична четворка - в хармонична четворка, права линия - в права линия.

За да се конструира полярна, би могло да се използва допирателна към коничен участък, поне в случая, когато полюсът лежи извън коничната, но ние ще направим обратното. Използваме независима конструкция на полюса, за да изтеглим допирателни към коничния участък.

Изграждане на полярна с една владетел

Всъщност от всяка страна на четворката се формира хармонична четворка. Например диагоналът AB пресича страните на четирите върха в точките, които заедно с точката C хармонично разделят краищата на двете хорди на коничния разрез. Следователно, линията AB е полярната точка на точка C. По същия начин линиите AC и CB са полярите на точките C и A.

Три връх ABC се нарича автополярен три връх на коничен разрез, тъй като всяка страна от него служи като поляр на противоположния връх.

Полученият чертеж може да бъде възпроизведен, като се започне от една от точките A, B или C. Достатъчно е да се начертаят две прави линии през него, които пресичат кониката в четири точки, и след това да се допълнят останалите страни и диагонали на четири- връх. Сега можем да изградим поляр на която и да е точка спрямо всеки коничен участък. По този начин, ако е дадена точка извън коничния разрез, можете да конструирате две допирателни с помощта на една линийка.

Тази конструкция може да се приложи с еднакъв успех на парабола, хипербола или елипса и по-специално на кръг. Фактът, че допирателните към окръжност наистина могат да бъдат конструирани по този начин, отново е много труден проблем от "класическата" геометрия. Във всеки случай тази конструкция не е била известна на древните геометри.