Експоненциално картографиране - Технически речник том IV

Експоненциалното картографиране има много важно свойство на функционалност.
Експоненциално картографиране в генерализирания проблем на Di-dona// Мат.
Експоненциалното картографиране в SLn (C) не е сюръективно.
Експоненциалното картографиране e е конформно в цялата равнина.
Експоненциалната карта exp: TPM - v M е дефинирана за лоренцови колектори по абсолютно същия начин, както за риманови колектори.
Сега използваме експоненциалното картографиране, свързано с въведената метрика, и дефинираме с помощта на (n - 2) -измерната рамка μ/z] вграждане φ с необходимите свойства. Подробностите на тази конструкция са подобни на тези, дадени в заключителната част на доказателството на лема 6.7, стр.
Следователно експоненциалното картографиране exp: q-k Ge (CH (q)) q е идентичността.
Понятието за експоненциално картографиране, което установихме за матрици, може да бъде обобщено за случая на произволна аналитична група. Това дава възможност да се използват елементите, образуващи алгебрата на Lie на аналитичната група g за параметрично представяне на елементите, формиращи околността на неутралния елемент в 5 - Определението на тази обобщена експоненциална карта е предмет на § VIII. Експоненциалното картографиране се използва в § IX за допълване на информацията, получена в § VII за хомоморфни картографирания на аналитични групи.
В) е експоненциално картографиране, дефинирано по същия начин, както в реалния случай. Нека: 3 (R) - J27 (С) е картографиране, което присвоява на всеки оператор L неговата сложност L, дефинирана по-горе. Следващото предложение следва директно от дефинициите.
По този начин нашата експоненциална карта съвпада с нулевата секция и следователно индуцира изоморфизъм на тази секция върху X.
Нека сега докажем, че експоненциалната карта е аналитична карта на многообразието, което току що дефинирахме. W е кубичен квартал на точката e по отношение на тази система.
Това показва, че експоненциалната карта exp: g - v G, най-общо казано, не е нито едно към едно, нито карта върху.
Горните факти относно експоненциалната карта са всичко, което ще използваме в бъдеще.
Обърнете внимание, че по отношение на експоненциалната карта, подобно на § 13, обратните уравнения ще бъдат описани в § 2O.
Следващото изречение показва как диференциалът на експоненциална карта може да се използва за конструиране на полета на Якоби.

В тази основа получаваме нещо като експоненциално картографиране: както обикновено, алгебрата на Лие се нанася върху съответната група на Лие; възниква сложна структура. По този начин може да се избере мултипликативна униформизация, която представлява сложен торус като фактор на произведението на няколко сложни мултипликативни групи над групата на мултипликативни периоди.
За разлика от неговата обратна (експоненциално картографиране exp), дневникът на картографирането е правилно дефиниран само в някакъв квартал на елемента за идентичност. За нашите цели обаче това леко неудобство не играе голяма роля.
За групата на Lie SL (K) експоненциалната карта не е сюръективна.
За групата на Lie на GLn (C) експоненциалната карта е сюръективна, но не отворена и инжекционна.
Доказателството за този факт следва директно от дефиницията на експоненциалната карта.
Ако A е една точка, тогава expr е обичайната експоненциална карта.
Ковариантното производно y, геодезичното пулверизиране на Z и експоненциалната карта exp върху BS (M) са десни.
Свойството мултипликативност, което характеризира обикновения експоненциален, за експоненциалното картографиране в групите на Lie се изпълнява само в ограничена форма.
Съществува проста и много полезна връзка между експоненциално картографиране и полета на Якоби. А именно, ако завъртим лъч с начало на нула около неговия начало в допирателното пространство на TMP, тогава изображението на този лъч при експоненциално картографиране ще очертае геодезическата вариация. В този случай диференциалът на експоненциалното картографиране rfexpp прехвърля (линейното) поле на скоростите на движение на точките на лъча в полето на Якоби по геодезичното - изображението на лъча. Нека го опишем по-официално.

---