Експоненциален прираст на населението
учебни цели
Ако сте работили през тази страница, трябва
- да разберете какво е експоненциалният растеж,
- овладеят математическите принципи на експоненциалния растеж,
- да познавате термините на растеж, раждаемост и смъртност и да можете да ги свързвате с експоненциален растеж,
- симулирайте експоненциален растеж, като използвате стандартна електронна таблица.
Експоненциален растеж на бактериите
"В зависимост от организма и условията на култивиране, времето за генериране на единични клетки може да бъде около 15 минути (термофилни бактерии), няколко часа (напр. Нитрифициращи бактерии) или няколко дни".
Източник: Spectrum Lexicon of Biology, ключова дума "микробен растеж"
Бактерии от вида Ешерихия коли може да се разделя на всеки 20 минути при оптимални условия. Индивидът става две след 20 минути, четири след 40 минути, осем след час и т.н. Нека да разгледаме графика на прираста на населението на Ешерихия коли в:
Изчисляване на прираста на популацията на Е. coli за 20 поколения
Използвах електронна таблица за изчисляване и графично показване на развитието на колония на Е. coli за период от двадесет поколения (т.е. добри шест часа). След добри шест часа вече има половин милион клетки, 20 минути по-късно има около 1 милион клетки.
Тук виждаме и нещо много типично за експоненциалния растеж: В началото растежът изглежда напълно безвреден, почти може да се говори за нулев растеж - което, разбира се, се дължи и на използвания тук мащаб. Само след около 14 или 15 поколения виждате значителен растеж, който след това се увеличава все повече и повече.
Експоненциален растеж в природата
Експоненциален растеж не е наблюдаван само при бактерии, фази на експоненциален растеж са наблюдавани и при много висши организми (растения, животни, хора). Прирастът на населението на човечеството е дори свръхекспоненциален, т.е. дори по-силен от обикновения експоненциален растеж.
Човешки растеж
През 1804 г. на земята имаше един милиард души, през 1927 г. броят им се удвои до два милиарда. Периодът на удвояване е 123 години.
През 1974 г. на земята вече имаше четири милиарда души, периодът на удвояване вече беше само 47 години.
В момента (17 юни 2018 г.) има 7 480 144 000 души, следващата година (2019 г.) броят вероятно ще нарасне до 8 милиарда. Периодът на удвояване сега е 44 години, което е поредното ускоряване на растежа. Но очевидно растежът на човечеството се приближава до експоненциален растеж, т.е. растеж с постоянно удвояване на времето. Това е успокояващо (внимание: сарказъм!).
Най-силен прираст на населението има в развиващите се страни, докато в повечето индустриализирани страни прирастът на населението е в стагнация или дори отрицателен.
На уебсайта www.census.gov/popclock можете буквално да наблюдавате как човечеството расте.
Математика на експоненциалния растеж
Математическото представяне на експоненциалния растеж е съвсем просто. Постоянното време за удвояване зависи от скоростта на растеж w на населението. Темпът на растеж от своя страна се състои от два компонента: раждаемост g и смъртност s. Прилага се следното: w = g - s. Ако се раждат повече индивиди, отколкото някои умират, темпът на растеж е положителен. Ако повече индивиди умират за определен период от време, отколкото се раждат, темпът на растеж е отрицателен, т.е. .
За да симулирате експоненциален растеж с електронна таблица, имате нужда от диференциално уравнение. Диференциалното уравнение показва колко населението се увеличава (или намалява) за даден период от време.
С $ dN $ се има предвид увеличението на популацията, с $ dt $ периодът, в който се извършва увеличението. Константата $ k $ определя колко силно $ \ frac $ зависи от текущия размер на популацията $ N $.
Симулация на експоненциален растеж чрез електронна таблица (Apple Numbers)
Обучение по електронна таблица I
В първата колона на електронната таблица въвеждаме поколенията, т.е. 1, 2, 3,. 30. За това вече може да се използва проста формула. Например стойността на клетка A3 се изчислява от стойността на клетка A2, увеличена с 1. В клетка A3 въвеждаме следната формула:
След това копираме тази формула във всички клетки A4, A5, под A3. A31.
В клетка B2 въвеждаме първоначалния размер на популацията, тук 100.
В клетка D2 въвеждаме стойността на константата k на диференциалното уравнение, например 0,04.
След това записваме следната формула в клетка B3:
Копираме тази формула отново във всички клетки под B3. Вероятно числата сега се показват с много десетични знаци, което не изглежда добре. Следователно форматираме колона Б, така че да не се показват повече десетични знаци. Начинът, по който това работи, зависи изцяло от използваната електронна таблица.
Създаване на диаграма
С електронна таблица можете също много добре да покажете графично колоните с числа. За да направите това, маркирайте двете колони A и B с мишката и след това изберете подходяща форма за показване. На фигура 2 е избран типът на дисплея "x/y diagram". Този тип представяне създава правилна графика на математическа функция, която показва стойностите на едната колона (тук Б) по отношение на стойностите на другата колона (тук А).
Таблицата с числата, преобразувана в Excel, можете да изтеглите от тук. Тук не се отдава значение на красотата, можете да го направите.
Задача 1
Искаме да проучим колко голяма е бактерията от вида Escherichia coli. Спектърният лексикон на биологията ни дава конкретни цифри: „Бактериите на Е. coli са прави пръчки, 1,1–1,5 × 2,0–6,0 μm (живи)“. За тази задача приемаме средна дължина 4 μm и средна ширина 1,3 μm. Искаме да зададем височината на такава бактерия на 1,3 μm.
За да можете да разрешите проблема, трябва също да знаете какво се разбира под 1 μm. 1 μm или 1 микрометър е хилядна част от милиметъра и милионна част от метър.
Задача
Ешерихия коли се удвоява на всеки 20 минути при идеални условия. Да предположим, че една от тези бактерии може да се размножава свободно през стени и други препятствия за един ден при идеални условия, колко дебел тогава би бил слоят от бактерии, който да покрива континенталната част на земята? Според Уикипедия площта на земната земя е около 149,4 милиона км²
упражнение 2
Според Süddeutscher Zeitung („Силата на големите числа“), на 10 март 2020 г. в Германия са били заразени 1218 души в короната. На 24 март вече имаше 4872 заразени, на 7 април 19 488 заразени и на 21 април 77 952 заразени.
Задача
Анализирайте тези числа и след това преценете дали това е експоненциален ръст.
Алтернативи на експоненциалния растеж са хипер-експоненциалният растеж и хипо-експоненциалният растеж. С хиперекспоненциалния растеж ("хипер" = над) периодът на удвояване непрекъснато се съкращава, докато при хипоекспоненциалния растеж ("хипо" = под) периодите на удвояване стават все по-дълги и по-дълги. При експоненциалния растеж периодите на удвояване са постоянни.
Задача 3
В книгата по биология има чудесен пример за реален експоненциален растеж: увеличаване на популацията от магарешки кран в Тексас. Ето числата като таблица:
| година | н |
| 1940 г. | 18-ти |
| 1945 г. | 17-ти |
| 1950 г. | 30-ти |
| 1955 г. | 20-ти |
| 1960 г. | 31 |
| 1965 г. | 42 |
| 1970 г. | 55 |
| 1975 г. | 48 |
| 1980 г. | 75 |
| 1985 г. | 90 |
| 1990 г. | 145 |
| 1995 г. | 155 |
| 2000 г. | 174 |
Задача
Анализирайте тези числа и след това преценете дали това е експоненциален ръст.
Учебен материал:
Външни връзки:
03.11.2012: Страницата е създадена
05.02.2018: преработена страница
24 март 2018 г .: Страницата е леко преработена.
22.04.2020: Задачи, добавени към страницата.