Двойка асиметрични двойни задачи
Двойка двойни задачи също могат да бъдат асиметрични. Асиметрична двойка двойствени задачи отговаря на следните условия:
1. Матриците на системите за ограничаване на проблеми се транспонират една спрямо друга.
2. Всяко ограничение на една задача съответства на променлива във втората задача; в този случай променливата, съответстваща на ограничението на неравенството в единия проблем, удовлетворява условието за неотрицателност в другия, а променливата, съответстваща на ограничението за равенство, може да бъде от всякакъв знак.
3. Коефициентите на променливите в целевата функция на единия проблем са свободни членове на съответните ограничения на другия. В този случай свободните условия на обективните функции на задачите съвпадат.
4. Целевите функции на задачите се оптимизират по обратния начин, тоест, ако една от задачите е максимална, тогава втората е минимум, а ако една от задачите е минимум, то втората е на максимум.
5. Ако целевата функция на задачата е максимизирана, тогава признаците на неравенства в ограниченията на проблема имат формата "£", а ако са сведени до минимум, те имат формата "³".
6. Във всички ограничения на проблемите свободните термини са от дясната страна, а термините с променливи са отляво.
Накрая се извикват условия 1 - 6 условия за двойственост.
По този начин симетричните и асиметричните двойки двойни задачи се различават само във второто условие.
Пример 1. Съставяне на двойни задачи:
а) 2х1 + 2х2-5х3 ® макс (мин); б) 2х1 + 2х2-5х3 ® мин
Решение. а) Първо, съставяме дуалния до максималния проблем (max). Дуалното е следното:
Нека покажем, че наистина сме получили двоен проблем. За целта показваме това за двойката
2х1 + 2х2-5х3 ® макс. 12у1-2у2 + 24у3 ® мин
задачи, всички условия за двойственост са изпълнени.
1. Матриците на системите за ограничаване на проблеми се транспонират една спрямо друга:
= .
2. Всяка задача има три ограничения и три променливи, т.е. всяко ограничение на една задача съответства на променлива в друга задача. Освен това всички променливи на един проблем съответстват на ограниченията на неравенството на другия и следователно отговарят на условията за неотрицателност.