Домакинският оптимум
Сега имаме две важни информации за (модели) домакинства: От една страна, знаем какво могат да си позволят. Второ, знаем какво искат. Можем да покажем и двете графично: Това, което можете да си позволите, показваме в пространството за стоки с ограничението на бюджета. Можем да покажем какво искат в същата диаграма с помощта на кривите на безразличието. За да се види как те могат най-добре да изпълнят своите желания съгласно бюджетните ограничения, двата аспекта просто трябва да бъдат обединени.
За целта използваме числения пример, който използвахме при конструирането на бюджетния ред. С доход E от 1000 EUR домакинството може да закупи стоки X и Y, които струват 5 EUR и 4 EUR всяка. Бюджетното ограничение, което определихме, е възпроизведено тук на Фигура 1. Домакинството би могло да плати снопа стоки R със своите доходи; Той можеше да си позволи S, без да харчи напълно доходите си, а доходът от 1000 евро не би бил достатъчен за закупуване на пакета стоки Q.
Жълтата зона показва бюджетното ограничение на домакинството с доход от 1000 EUR, което може да закупи добър X за 5 EUR и добър Y за 4 EUR.
Искаме да предположим, че домакинството има предпочитания относно стоките, които могат да бъдат представени с помощта на полезната функция U = XY. Това е същата функция на полезност, която намерихме в примера за бира със сирене и за която вече сме изградили криви на безразличие. Фигура 2 показва три избрани криви на безразличие за тази полезна функция. Стойностите на индекса на кривите във фигурата на скалата са 5000, 12 500 и 20 000.
Избрани криви на безразличие за полезната функция U = XY.
Например, бихме могли да картографираме предпочитанията на домакинството с полезната функция U = (XY) 0,5. Ако бяхме използвали тази функция, щяхме да имаме идентично картографиране за стойностите на индекса на полезност 70,71, 111.80 и 141,42.
При функцията за полезност U = (XY) 0,5 законът на Госен се прилага и за двете стоки, тъй като вторите частични производни са отрицателни. Същите предпочитания са представени и от U = XY. Прилага ли се законът на Госен и за тази полезна функция?
Сега събираме двете мисли за това какво иска домакинството и какво може да си позволи, като просто поставим двете диаграми от фигури 1 и 2 една върху друга (вж. Фигура 3). Домакинството би искало да постигне кривата на безразличие I3 (тъй като тя показва най-голямата полза от изчертаните три криви на безразличие), но бюджетното ограничение не го позволява. Очевидно най-високата постижима крива на безразличие е тази, която влияе върху бюджетния ред. Приемането на баланс (изпъкналост на кривите на безразличие; намаляващ пределен процент на заместване) гарантира, че има ясна тангенциална точка.
Чрез комбиниране на бюджетни ограничения и криви на безразличие се получава информацията, която желае домакинството да изпълни с дадени цени и доходи.
Точката на допира е отбелязана на фигура 4. Домакинството постига възможно най-голяма полза, когато изразходва дохода си за пакет стоки P, т.е. купува 100 X и 125 Y - както може да се определи от графиката с "метода за внимателно разглеждане". Този пакет стоки или точката P се нарича домашен оптимум или домашно равновесие.
Домакинството е в баланс, когато консумира пакета P.
в Салдо на домакинствата (или оптимално) наклоните на бюджетната линия и кривата на безразличие съвпадат.
Следващата Коледа определено ще дойде .
Използвайки концепцията за баланса на домакинството, помислете защо паричният подарък обикновено (и при направените предположения) е по-приятен от подарък в натура.
В противен случай P не би била допирателна, а пресечна точка. Определихме (абсолютния) наклон на кривата на безразличие в предишния раздел като съотношение на пределната полезност на X и Y (вижте фиг. 6 и уравнение [5] там). (Абсолютният) наклон на бюджетния ред съответства на съотношението на цените на стоките X и Y (вж. Фиг. 4). Така че в бюджетното равновесие това съотношението на пределната полезност на двете стоки съответства на тяхното съотношение на цените. Това твърдение се отнася и за случая n-стоки, за да може да се формулира като цяло:
В оптималното за домакинствата пределно полезно съотношение на две стоки съответства на тяхното съотношение на цените.
Тъй като пределното съотношение на полезност съответства на отрицателния обратен пределен процент на заместване, важи и следното:
(Абсолютният) пределен процент на заместване съответства в равновесието на домакинството на обратното съотношение на цената на стоките.
Това са твърдения, които звучат странно и са трудни за разбиране. Но контрапримерът ясно показва, че трябва да е така. За целта разглеждаме случай на фигура 5, при който домакинството не е в равновесие в точка R. Съотношението на пределната полезност не съвпада със съотношението на цените на стоките. Това възлиза на 5/4 = 1,25 и показва наклона на бюджетния ред с отрицателен знак. Така че домакинството може да си позволи 1,25 единици повече Y с постоянни разходи, ако се откаже от една единица X.
Започвайки с R, домакинството може да увеличи полезността си, тъй като може да замени доброто Y на пазара за по-малко X, отколкото би било готово да се откаже в случай на безразличие.
Понастоящем в R е изложен тангенс, за да може да се разпознае как домакинството би обменяло стоки помежду си в случай на безразличие. Синята линия a е почти пет пъти по-дълга от зелената линия b. Така че в случай на безразличие домакинството би било готово да се откаже от 5 единици X за 1 единица Y. Ако всъщност се откаже от 5 единици X, той може да купи 6,25 единици Y в замяна. С преобладаващите пазарни цени той може да замени Y за X много по-евтино, отколкото би било необходимо за безразличие. Една единица Y би му била достатъчна за безразличие, всъщност той получава 6,25 единици. В резултат на това той ще се придвижи нагоре по бюджетния ред, т.е.консумира повече Y и по-малко X.
Всеки, на когото една ябълка струва две круши, със сигурност ще даде круша, ако може да замени ябълка за нея. Това е нещо разбираемо. Но това е - колкото и просто да звучи - ключът към разбирането на модела.
Докато той "се лута" от R в посока P, консумацията на Y се увеличава, а тази на X намалява. Въз основа на закона за намаляващата пределна степен на заместване, това води до поскъпване на Y намаляващо и поскъпването на X нарастващо. Докато домакинството достигне точка P, по принцип се прилагат същите съображения, както в точка R: домакинството може да обменя стоки на пазара в по-добро съотношение, отколкото е необходимо, за да се поддържа постоянното му използване. В самата точка Р той може да обменя стоките на пазара точно в съотношението, което поддържа използването му постоянно.
Друга възможност да стане ясно защо R на фиг. 5 не може да бъде оптимумът на домакинството е следната: Ако някой се движи по кривата на безразличие от R в посока S, ползата остава постоянна. В същото време обаче отивате под бюджетния ред. Домакинството вече не харчи пълния си доход, както в R. Очевидно това означава, че той "може да купи същите придобивки за по-малко пари". Но тогава може да не е било в оптимална ситуация в R. Домакинството, от друга страна, не може да „купува“ ползите, постигнати в P, със сума, по-малка от общия му доход. Съответно не е възможно подобрение от P. По този начин P е оптимално. (Тази аргументация е тясно свързана с разсъждение, известно под ключовата дума „двоен проблем“: За дадено ниво на полезност I2, доходът се свежда до минимум на дадени цени. Целта е да се търсят възможно най-ниските разходи на домакинството за постигане на това ниво на полезност По този начин P изглежда като баланс на домакинството - и веднъж не е измамно.)
Проверете дали получавате същия резултат с полезната функция U = (XY) 0,5 и необходимото условие за равновесие на домакинството от уравнение [1], както в числовия пример в съседния текст с полезната функция U = XY.
Преди г-н К. да реши да отслабне, неговата полезна функция беше U = 3S 0,5 A 0,5, където S означава шоколад, а A - ябълки. Цената за един кг шоколад е pS = 4, а за един кг ябълки pA е 2 EUR. Г-н К. харчи 200 евро всеки месец за ябълки и шоколад. Според неговото решение функцията на полезност на г-н К. U = 4S 0,25 A.
Колко кг по-малко шоколад изяжда г-н К.?
Обсъдете (със скици):
а) Ако едно домакинство оптимално консумира 21 единици добро х и 42 единици добро у, тогава доброто х е точно два пъти по-скъпо от доброто у.
б) Ако доходът на домакинството се утрои, потреблението се увеличава от х на 63, а това от у на 126 единици
Всеки, който знае как да максимизира U (x, y) при ограничението ЕВ = В pxxВ + В pyy, също може да е изчислил необходимото условие за равновесие на домакинството:
За числовия пример с полезната функция U = XY се получава
и използвайки уравнението на бюджетния ред 1000 = 5x + 4y оптималните величини y * = 125 и x * = 100.
Основният резултат от този раздел е в две версии:
Графично: бюджетът е в равновесие, където бюджетният ред докосва (най-високата) крива на безразличие.
Аналитично: Домакинството е в равновесие, ако съотношението на пределната полезност съответства на съотношението на цените на стоките (виж уравнението [1]).
Този резултат също се нарича Вторият закон на Госен (синоним: еквимаргинален принцип, правило за пределна компенсация на полезност, закон за изравняване на претеглената пределна полезност, закон за пределната полезност на Госен).
Необходимото условие за максимум функция U (x, y) от две променливи
В крайната точка A безкрайно малките промени в стойностите на x и y не водят до промени в стойността на функцията.
може да се види графично в точка А на фигура 1, че пределните движения, успоредни на осите, поддържат постоянната стойност на функцията (това би било и в най-ниската точка на лимона, така че условието не е достатъчно, а е необходимо само защото важи и за минимума).
В точка Б, от друга страна, човек признава, че увеличаването на стойността на у би увеличило стойността на функцията. Очевидно в B човек все още не е в най-високата точка на лимона.
В резултат на бюджетното ограничение, което е представено като права линия като e на фигурата, не са възможни независими движения dx и dy. Промяната в x се свързва със съответната промяна в y чрез съотношението на цените на стоките (наклон на бюджетния ред):
От графична гледна точка това е синоним на изрязване на лимона вертикално през e и търсене на най-високата точка на срезания ръб.
Уравнението [2a], вмъкнато в [1], дава
или с думи: Съотношението на пределната полезност трябва да се съгласува в бюджетното равновесие със съотношението на съответните цени на стоките (Вижте също. Метод на Лагранж за по-елегантен метод).
Възможна е алтернативна интерпретация въз основа на графичното представяне на кривата на безразличие и бюджетната линия (точка Р на фиг. 4): На кривата на безразличие промяната в dU по дефиниция е нула. По този начин наклонът му може да бъде даден като [1]
Най-високата крива на безразличие се достига там, където бюджетният ред докосва кривата на безразличие. Кривата на безразличие и бюджетният ред могат да се допират само ако имат същия наклон dy/dx (в противен случай те биха се пресичали). Следователно наклонът на бюджетния ред от [2a] трябва да се съгласува с наклона на кривата на безразличие от [4]:
The Втори закон на Госен от Херман Хайнрих Госен (1810-1858) - може да бъде намерен - както и първият, разбира се - в неговата основна работа „Развитие на законите за човешкия акт и правилата за човешките действия, произтичащи от него“ от 1854 г .:
Вторият закон на Госен
„Човекът, който е свободен да избира между няколко удоволствия, но чието време не е достатъчно, за да подготви напълно всички, трябва да бъде, колкото и да е различен абсолютният размер на тези удоволствия, за да увеличи сумата от неговото удоволствие до най-голямо донесе, преди той дори изцяло да подготви най-големия, всички те частично се подготвят, и то в такава пропорция, че количеството удоволствие в момента, когато подготовката му е прекъснато за всички, все още остава същото. "
Днес тя е известна под различни имена: Equimarginalprinzip, правило за изравняване на пределната полезност, закон за изравняване на претеглената пределна полезност, закон за изравняване на пределната полезност на Gossen.
Дори и да звучи малко старомодно, той описва точно ситуацията, при която бюджетният ред се докосва до най-високата крива на безразличие. Въпреки това Госен все още беше убеден в кардиналната измеримост на полезността, така че той би си помислил, че може да посочи увеличението на полезността, което би довело, ако едно евро трябва да бъде похарчено за определена стока. По аналогичен начин, но малко по-модерен от горния, Вторият закон на Госен може да бъде формулиран по следния начин: „Последното евро, похарчено за добро х, трябва да генерира същото увеличение на полезността в бюджетното равновесие, както последното евро, похарчено за добро у“. ако не е така, тогава ползата може да бъде увеличена, ако човек похарчи едно евро по-малко за х и едно евро повече за у (или обратно). Тогава първият закон на Госен гарантира, ако се отнася и за двете стоки, че съществува оптимум. Вторият закон на Госен също може да бъде формулиран съвсем формално и за произволен брой стоки: „Пределната полезност на всяка стока, разделена на цената на тази стока, трябва да бъде еднаква за всички стоки“.
Госен беше убеден, че хората трябва само да следват това правило, за да постигнат най-голямото щастие. Той искаше неговите правила да се разбират като инструкции за действие, приписвайки им качеството на природните закони. Вероятно и защото той беше един от първите, които използваха математиката, за да извлекат резултатите си. Без тях, според Госен, икономиката не би била възможна. И ако можеше да го изчислиш и по този начин да го „докажеш“, трябваше да е правилно без съмнение, нали!?
| Часа | В VWLВ | В BWLВ | статистика |
| 0 | 20-ти | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71 | 97 |
| 4-ти | 83 | 78 | 98 |
| 5 | 90 | 83 | 99 |
| 6-то | 92 | 86 | 99 |
Мартин Бергман вече е учил право; в момента се подготвя за междинна диплома. В допълнение към следването си, Б. работи на непълно работно време в адвокатска кантора, така че има само 6 часа на ден, за да се подготви за изпита. Разбира се, той вече не се подготвя за справедливост. Той се интересува от възможно най-добрата междинна диплома, чиято обща оценка се изчислява като обикновена средна стойност на отделните оценки. Той подозира, че с алтернативно натоварване от 100 възможни точки на изпит може да постигне следните резултати:
В В
Как Б. разделя своите шест часа време за подготовка всеки ден? Как получи резултата?
Намерете подобни страници в WWW: