Дискретен пръстен за оценка
Дискретен пръстен за оценка Е пръстен, който може да бъде получен в резултат на дискретна оценка на някакво поле чрез избор на подмножество от елементи с неотрицателна норма. Такъв пръстен може да бъде дефиниран по много еквивалентни начини.
Дискретният пръстен за оценка е интегрален пръстен R, отговарящи на едно от следните (еквивалентни) условия:
един) R - местна област на основните идеали, която не е поле. 2) R Е локален пръстен на Дедекинд, който не е поле. 3) R Е нетеровски локален пръстен, чийто размер на Krull е равен на един, а единственият максимален идеал е основният. 4) R Е интегрално затворен едноизмерен локален нетеров пръстен. пет) R - областта на основните идеали с един ненулев първостепенен идеал. 6) R - факториален пръстен с един неразложим елемент (до вземане на свързани елементи). 7) Налице е дискретна оценка на полето на коефициентите на пръстена R, и какво от това R съвпада с множеството елементи с неотрицателна норма.
- Означаваме Z (2) = < p/q | p, q ∈ Z, q ⋮̸ 2 >. _ = \, q \ not \ vdots \; 2 \>.> Полето на коефициентите на този пръстен е всичко Q. .> Разлагаме числителя и знаменателя на произволен рационален r на прости числа и го представяме във формата 2 k p/q p/q> с нечетни p, q, поставяме v (r) = k. Тогава Z (2) _> е дискретният пръстен за оценка, съответстващ на v. Обърнете внимание, че Z (2) _> е локализация на пръстена на Дедекинд Z> по идеал (2). Оказва се, че локализацията на всеки пръстен на Дедекинд от отличен от нула главен идеал е дискретен пръстен за оценка.
- Като по-геометричен пример приемаме пръстена от рационални функции, чийто знаменател не е нула при нула, т.е. функции, които са дефинирани в някаква околност от нула. Такива функции образуват дискретен пръстен за оценка, единственият неприводим елемент е функцията x (до вземане на свързани с тях), а съответната оценка на рационалните функции е нулевият ред (евентуално нулев или отрицателен) на тази функция при нула. Този пример е стандартен за изучаване на алгебрична крива в несингуларна точка; в този случай алгебричната крива е реалната ос.
- Друг важен пример е пръстенът от формални степенни серии; тук неприводимият елемент е серията x, а оценката е степента на първия ненулев коефициент. Ако се ограничим до реални или сложни коефициенти, можем да помислим за серия, сближаваща се в някакъв квартал на нула - това е, както и преди, дискретният пръстен за оценка.
- Пръстенът на p-адически числа Z p _
> .