Динамично представяне на сигнали
3.1. Разлагане на сигналите на единични импулси. Единични импулси. Разлагане на сигнала. Линейна импулсна характеристика на системата.
3.2. Конволюция (конволюция). Интеграл на Дюамел. Техника на конволюция. Свойства на конволюцията. Конволюционни системи. Условия на първоначалната конволюция.
Динамичната форма на представяне на сигнала съответства на тяхната естествена и обичайна форма на математическо описание под формата на функции на независими променливи (аргументи). Моделиране и анализ на линейни стационарни системи за обработка на произволни форми на вълната в динамично представяне се основава на разлагането на сигналите в единични импулси от най-простата форма.
3.1. Разлагане на сигналите на единични импулси
Единични импулси. Делта функцията се използва като математически модел на единичен импулс при анализа на аналогови сигнали.
Делта функция или функцията Dirac. По дефиниция делта функция се описва от следните математически изрази (общо):
d (t-t) = 0 за t # t, d (t-t) dt = 1.
Функцията d (t-t) не е диференцируема и има обратното измерение на аргумента си, което директно следва от безразмерността на резултата от интеграцията. Стойността на делта функцията е нула навсякъде, с изключение на точката t, където това е безкрайно тесен импулс с безкрайно голяма амплитуда, докато площта на импулса е 1.
Делта функцията е полезна математическа абстракция. На практика такива функции не могат да се реализират с абсолютна точност, тъй като е невъзможно да се реализира стойност, равна на безкрайност в точката t = t на аналоговата времева скала, т.е. определено във времето също с безкрайна точност. Но във всички случаи, когато площта на импулса е равна на 1, продължителността на импулса е доста кратка и по време на работата си на входа на която и да е система, сигналът на изхода му практически не се променя (реакцията на системата на импулса е многократно по-голяма от продължителността на импулса), входният сигнал може да се разглежда единична импулсна функция със свойства на делта функция.
Функция Kronecker. За дискретни и цифрови системи като единичен импулс се използва дискретен интегрален аналог на делта функцията - функцията за броене на единици d (k D tn D t), която е равна на 1 в координатната точка k = n и изобщо нула други точки, докато функцията d (k D tn D t) е дефинирана само за целочислени стойности на координати k и n.
Математическите изрази d (t-t) и d (k D t-n D t) се наричат още импулси на Дирак и Кронекер. Използвайки тази терминология обаче, не трябва да се забравя, че това не са просто единични импулси в координатните точки t и n D t t, а импулсни функции, които определят както стойностите на импулсите в определени координатни точки, така и нулевите стойности за всички други координати, в границата от - Ґ до Ґ .
Разлагане на сигнала на единични импулси. Импулсите на Dirac и Kronecker се използват за декомпозиране, съответно, на произволни аналогови сигнали s (t) и дискретни сигнали s (k D t) в непрекъсната последователност от непокриващи се (ортогонални) импулси:
s (t) = s (t) d (t- t) d t. (3.1.1)
s (k D t) = s (n D t) d (k D t-n D t). (3.1.1 ')
За аналоговите сигнали разширението (3.1.1) във физическо представяне е еквивалентно на сканиране на стойностите на сигнала s (t) в моменти t = t чрез безкрайно тесен процеп, минаващ по оста t. За цифровите сигнали тази разлика е равна на една извадка. Пример за разлагане на дискретен сигнал е показан на фиг. 3.1.1.
Единичните импулсни функции d (t- t), - Ґ 0 и поставят началото му h (0) директно в точката, за която трябва да се изчисли изходният сигнал, т.е. до точка t = 5 за нашия пример. Ако сега координатите за функцията h (t) се вземат обратно от точката на изчисление чрез аргумента t, т.е. отидете при изчисляването на h (t), където стойността на t се променя от 0 и по-нататък (в ограничението до Ґ), тогава е лесно да се уверите (това се вижда ясно на фигурата), че функцията h (t ) ще пресича входните импулси при същите стойности на y1 и y2 ... За тези точки на пресичане на първия и втория импулси, съответно, t 1 = t-t1 и t 2 = t-t2, както при директния метод за изчисляване на забавени реакции при изчисляване на стойностите на h (tt 1 ) и h (tt 2). След умножаване на получените стойности на h (t 1) и h (t 2) по стойностите на входния сигнал A и B, получаваме пълна аналогия: y1 = AH h (t 1) = AH h ( t-t1) и y2 = BH h (t 2) = B H h (t-t2) и съответно общият сигнал y = y1 + y2.
y (t i) = h (t) H s (t i - t) d t. (3.1.3)
Съответно в цифровите системи за произволна точка k:
y (k D t) = h (n D t) Ч s (k D t-n D t). (3.1.3 ')
Получената сума от стойности ще представлява забавената реакция на системата на всички импулси, получени на входа на системата преди текущата точка на изчисляване на изходния сигнал.
По този начин за линейни и стационарни системи е лесно да се определи тяхната реакция на всеки входен сигнал, ако импулсният отговор на системите към един входен сигнал е известен.
3.2. Сгъване (извиване) [1,11].
Интеграл на Дюамел. Произволен сигнал на входа на системата, използващ изразите за разлагане на сигнала, може да бъде представен като последователна линейна комбинация от претеглени единични импулси:
y (t) = T [s (t)] = T [s (t) d (t-t) d t].
Въз основа на принципа на суперпозицията, линейният оператор T може да бъде въведен под интегралния знак, тъй като последното е граничната стойност на сумата. В този случай операцията за преобразуване действа само върху променливата t. Това предполага:
y (t) = s (t) T [d (t-t)] d t = s (t) h (t-t) d t. (3.2.1)
Този израз представлява интеграла на Дюамел или конволюцията на входния сигнал с импулсната характеристика на системата. Чрез промяна на променливите t - t = t, човек може да се увери, че конволюцията е комутативна:
s (t) h (t-t) d t е h (t) s (t-t) d t. (3.2.1 ')
Извиква се функцията h (t) ядро на конволюцията (ядро ) или импулсната характеристика на линейна система. По същия начин, за дискретни сигнали, където стойността на D t, като правило, се приема равна на 1, а индексите k и n служат като брой проби от числови серии:
y (k) = h (n) s (k-n). (3.2.1 ")
В методите за цифрова обработка на сигнала функцията h (n) обикновено се нарича оператор на конволюция, а размерът й по отношение на броя на пробите се нарича прозорец на оператора на конволюция.
Изразите (3.2.1) имат специална форма на опростена математическа нотация в символна форма:
Чрез сравняване на изрази (3.2.1 'и 3.2.1' ') с изрази (3.1.3) е лесно да се провери пълната им идентичност, с изключение на долната граница на интегриране (сумиране). Това е разбираемо, тъй като изразите (3.1.3) са получени при разглеждане на реална физическа система, работеща в реално време, чийто импулсен отклик е едностранен (равен на нула при t
,
и изразът на конволюцията става:
(t) = (t) (t- t) d t.
Тук (и в останалата част от текста) векторните количества са маркирани с получер шрифт с "капачка".
Конволюционни системи. Свиването се извършва от системата (физическо или софтуерно устройство). Физическите системи в реално време изчисляват текущата стойност на изхода от всички минали стойности на входа и не могат да разполагат с бъдещи стойности на входа. Операторите на такива системи са еднопосочни (причинно-следствени). Горното, нормализирано на 1 по площ, функция на RC-веригата h (t) = (1/RC) × exp (-t/RC), взето за системен оператор на фиг. 1 е точно такъв еднопосочен причинен оператор. При сравняване на изходния сигнал на такава система с входния е лесно да се види, че изходният сигнал се измества спрямо входния сигнал. За причинно-следствените системи такова „фазово изместване“ винаги съществува и не може да бъде изключено (сигналът на изхода на системата не може да бъде по-ранен от сигнала на нейния вход).
Входният сигнал на софтуерните системи е сигналът като цяло, записан в паметта на изчислителното устройство. При обработката на такива данни системата разполага на разположение както с "минали" стойности на входния сигнал за тази точка, така и с "бъдещи" стойности на входния сигнал при изчисляване на която и да е текуща точка на изходния сигнал. Това ви позволява да създавате системи без фазово изместване на изходния сигнал спрямо входа. Има два начина за създаване на такива системи:
1. Първият метод е илюстриран на фиг. 3.2.3. Посочена е система с еднопосочен причинен оператор h (t). Входният сигнал s (t) се предава през системата в обичайния ред и конволюцията се извършва g (t) = h (t) * s (t). Тогава изходният сигнал g (t) се обръща (g (t) => g (-t), краят на сигнала става неговото начало във възходящ ред на t) и се предава повторно през системата, т.е. се извършва конволюция y (-t) = h (t) * g (-t). Полученият сигнал се обръща отново y (-t) => y (t) и резултатът е крайният изход y (t) на системата.
Последните три операции (обратна g (t) S конволюция ch (t) S обратен изходен сигнал) са еквивалентни на конволюцията на сигнала g (t) с обратен отговор на системата h (- t) и фазово отместване по време на конволюцията на обърнатия сигнал компенсира фазовото изместване на сигнала, получен в първата конволюция. Общият резултат от операцията y (t) = h (t) * h (- t) * s (t) няма фазово изместване на изходния сигнал спрямо входа. Тази операция трябва да се извърши, за да се елиминира фазовото изместване при прилагане на рекурсивни филтри, които винаги са еднопосочни.
2. Изходът y (t) = h (t) * h (- t) * s (t) от предишната операция позволява, използвайки свойството на комутативност на конволюцията, първо да извърши конволюцията h (t) * h ( - t) = h (± t) и се получава един системен оператор h (± t) (виж фиг. 3.2.4), който осигурява конволюция без фазово отместване. Този системен оператор е двустранен и симетричен по отношение на t = 0. Но той може да се използва само за предварително записани сигнали, тъй като при извършване на конволюция y (t) = h (± t) * s (t-t) отрицателните стойности на t изискват „бъдещи“ стойности на входния сигнал s (t + t). Резултатът от конволюцията със симетричен оператор е напълно аналогичен на първата операция (сигнал y (t) на фиг. 3.2.3).
Горното образуване на двустранен симетричен оператор на конволюция има чисто познавателен характер. На практика е съвсем естествено да се изчисляват директно симетрични двустранни оператори за необходимите задачи за обработка на цифрови данни (сигнали, записани в дискретна цифрова форма).
Условия на първоначалната конволюция. В началния момент на конволюцията, когато се изчисляват стойностите на y (t i) за стойностите на t i, t i "увисва" за стойностите на t i - t спрямо липсващите стойности на входната функция. Пример за такова окачване на оператора на дискретна навивка срещу несъществуващи проби s -1 и s -2 на масива от входни данни при изчисляване на извадката при 0 е показан на фиг. 3.2.5. Закачването се елиминира или чрез определяне на начални условия - допълнителни проби, най-често нула или равна на първата извадка на входната функция, или чрез стартиране на конволюцията от входната функция ki = n max със съответно намаляване на интервала на изходната функция с интервал на системния оператор. За симетрични оператори със стойности -n (напред във времето), същият момент настъпва в края на входния масив и изисква задаване на крайни условия или намаляване на размера на изходния сигнал.
един. Баскаков С.И. Радиосхеми и сигнали: Учебник за университети. - М .: Висше училище, 1988.
11. Зиновиев А.Л., Филипов Л.И. Въведение в теорията на сигналите и веригите: Учебник за университети. - М.: Висше училище, 1975 г. - 264 с.