Динамични системи със сложна поведенческа структура Хомоклиника
Сътрудничество: С. Гонченко (Институт за приложна математика и кибернетика, Нижни Новгород, Русия), Л. Лерман (Институт по математика, ФУ Берлин)
Финансиране: DFG приоритетна програма "Ергодична теория, анализ и ефективна симулация на динамични системи"
Описание на изследователската работа:
Изследването на хомоклиничните бифуркации предоставя уникален инструмент за разбиране на нелокални динамични явления. Познаването на структурата на определен (обикновено краен) набор от разграничени траектории (напр. Периодични орбити, към които съществува хомоклинична траектория и точки на равновесие с хомоклинична верига) позволява изчерпателно описание на сложните динамични поведения.
През отчетния период бяха проведени разследвания по следните теми.
1. Бифуркация на синьото небе. През 1995 г. Д. Тураев и Л. Шилников доказаха нов тип бифуркация за периодични решения ([1]): В множеството от всички гладки триизмерни реки има повърхност с коразмерност 1, която се състои от точки на бифуркация (бифуркация на синьото небе)
съществува и има свойството, че при приближаване към тази повърхност периодът и дължината на отлично периодично решение стават безкрайно големи. Този резултат е доказан при предпоставката, че реките са гладки. Сега беше показано, че C 2 гладкостта е достатъчна за това ([2]). Този резултат е от особено значение от гледна точка на намаляването на динамичните системи до нелокални инвариантни колектори (например инерционни колектори), тъй като в този процес системите губят първоначалната си гладкост ([3, 4]).
Резултатите в [1] могат да бъдат разширени, като се покаже, че геометричната конструкция, използвана в [5], се среща естествено в класа на динамичните системи с бързи и бавни променливи, което е важно за приложенията (поради поведението на скок между различни видове бавни колектори).
2. Съразмерност 2 бифуркации на хомоклинични бримки. Известно е, че при общи условия периодичният разтвор се разклонява от хомоклиничната верига на седловината. Нарушаването на тези общи условия води до бифуркации на коразмерност 2. Откритият по-рано проблем за това дали известните сценарии за бифуркация на кодизия 2 са завършени е решен. Може да се покаже, че освен известните сценарии на бифуркация
не може да даде повече ([5]).
3. Само локализирани решения от системи Хамилтън. В системите на обикновени диференциални уравнения самолокализираните решения представляват хомоклинични вериги.Бифуркациите на хомоклиничните вериги в системите на Хамилтън са до голяма степен неизследвани. По отношение на съществуването на N-импулси в системите на Хамилтън беше показано, че нарушаването на общите условия в [6], тъй като те са напр. Б. възниква в бифуркацията на флип на орбитата в системите на Хамилтън, води до съществуването на безкраен брой N импулси. Наборът от тези решения беше напълно описан с помощта на езика на символната динамика и в този контекст беше представена ролята на специалните нехомоклинични решения (например периодични и хетероклинични решения). Доказано е, че съществуването на суперхомоклинични разтвори (те представляват хомоклинични орбити към хомоклинични орбити) значително увеличава сложността на динамиката ([7]).
За единично нарушени системи на Хамилтън беше изследван феноменът на експоненциално по-малка разделителна матрица. Получените резултати могат да се използват за описване на импулсни разтвори в различни физически системи (например с плитки водни вълни) ([8]).
4. Динамика в новите къщи. Компютърните симулации на хаотични системи винаги показват появата на хомоклинични контакти, т.е. H. инвариантните колектори на седлови подобни периодични решения се допират един до друг. Нюхаус показа, че системите с хомоклинични контакти са плътни в определени области от пространството на всички динамични системи. В [9] е показано подробно, че пълното описание на динамиката на системите в районите на Нюхаус по принцип е невъзможно.
Едно от основните свойства на хомоклиничните контакти е едновременното възникване на периодични разтвори с топологично различно поведение. Това явление се демонстрира и за райони на Нюхаус в системите на Хамилтън ([10, 11, 12]).
Проектна литература: