Биномиални формули в степен 3, 4, 5

В тази статия имаме работа с биномиалните формули с по-високи степени. Примерите също се изчисляват. Тази статия е част от нашата математическа секция.

Когато говорят за биномиални формули, повечето хора мислят за трите "нормални" биномиални формули с експонента 2. Ако ги търсите, ще ги намерите в статията Биномни формули. Тук разглеждаме други експоненти. Става въпрос за биномиалните формули в степен 3, 4, 5 и т.н.

Обяснение като видео:
Тази тема е достъпна и като видео. В това са представени типични задачи, примери и изводи. Бутон може да се използва и за превключване в режим на цял екран. Видеото е достъпно и директно в раздела Binomial Formulas: Higher Powers Video. Ако имате проблеми с възпроизвеждането, вижте Видео проблеми.

Биномиални формули в степен 3

Нека започнем с биномните формули, когато степента е 3. Първо е пълният математически контекст. След това преминаваме към деривацията и след това разглеждаме примери.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Първо записваме подробно цялата работа. След това умножаваме (a + b) · (a + b) и получаваме 2 + 2ab + b 2. Както вече знаем от "нормалните" биномиални формули. И след това умножаваме този резултат по (a + b). Следват отделните стъпки:

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + ab + ba + b 2)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a a 2 + a 2ab + a b 2 + b a 2 + b 2ab + b b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

(3 + 5) 3 = ?
(3 + 5) 3 = 3 3 + 3 3 5 2 + 3 3 2 5 + 5 3
(3 + 5) 3 = 512

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Биномиални формули в степен 4 и 5

Нека да разгледаме по-нататък умноженията за степени 4 и 5 на биномните формули.

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(a - b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 -4ab 3 + b 4
(a - b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 -10a 2 b 3 + 5ab 4 -b 5

Примери за деривации:

За деривациите използвах резултатите за степента 3, за да изчисля степента на 4. И след това използваме този резултат отново, за да изчислим мощността на 5. По този начин може да се изведат още по-високи потенции и разлики.

(a + b) 4 = (a + b) (a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b) 5 = (a + b) (a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(2 + 3) 4 = 2 4 + 4 2 3 3 + 6 2 2 3 2 + 4 2 3 3 + 3 4
(2 + 3) 4 = 625