Алгебрично разнообразие

алгебрично

Алгебрично разнообразие - централният обект на изучаването на алгебричната геометрия. Класическата дефиниция на алгебрично многообразие е набор от решения на система от алгебрични уравнения върху реални или комплексни числа. Съвременните дефиниции го обобщават по различни начини, но се опитват да запазят геометрична интуиция, съответстваща на това определение [1] .

Концепцията за алгебрично многообразие има някои прилики с концепцията за гладко разнообразие. Разликата е, че алгебричните сортове, за разлика от гладките, могат да имат единични точки. Квартал на несингуларна точка на реално алгебрично многообразие е изоморфно на гладкото многообразие.

Основната теорема за алгебрата, доказана около 1800 г., установява връзка между алгебрата и геометрията, показвайки, че редуцираният полином в една променлива (алгебричен обект) се определя уникално от неговите сложни корени, тоест краен набор от точки на комплекс равнина (геометричен обект). Теоремата на Хилберт за нулите, обобщавайки този резултат, установи фундаментално съответствие между идеали на полиномиален пръстен и алгебрични разновидности. Използвайки нулевата теорема на Хилберт и свързаните с нея резултати, математиците установяват съответствие между въпросите за алгебричните разновидности и въпросите от теорията на пръстените; използването на такива съответствия е отличителен белег на алгебричната геометрия.

Съдържание

Съществуват различни видове алгебрични сортове: афинни сортове, проективни сортове, квазипроективни сортове. Алгебрично разнообразие в най-общия смисъл се получава чрез залепване на няколко квазипроективни разновидности.

Афинни сортове

Нека бъде к - алгебрично затворено поле (в класическата алгебрична геометрия - полето на комплексните числа); A n> - н-размерно афинно пространство над к. Има теорема от класическия анализ, която твърди, че затворените подмножества на Rn ^> са точно множествата от нули на всички видове безкрайно диференцируеми функции. [4] Топологията на Zariski в известен смисъл пренася това свойство в случая на полиномиални функции: при дефинирането на топологията Zariski всеки набор от полиноми в н променливи, се свързва множеството точки в афинното пространство, при което всички тези полиноми са равни на нула: