Алгебрични цели числа

Гаусовите цели числа са чудесен пример за алгебрични числа, които се "държат" като цели числа, но все още не е ясно каква трябва да бъде общата концепция за "цяло". След период на изследване на Дирихле,

Кумър, Айзенщайн, Ермит и Кронекер през 40-те и 1850-те години. Дедекинд (1871) предлага следното определение: алгебрично цяло число е корен от уравнение на формата

По този начин дефиницията на алгебрично цяло число следва от дефиницията на алгебрично число (раздел 21.1) чрез ограничаване на полиноми до онези полиноми, които имат водещ коефициент 1, или нормализирани полиноми, както често се наричат.

Една от причините, довели до тази дефиниция, е резултат, доказан от Айзенщайн (1850): числата, удовлетворяващи уравненията на тагове, са затворени. От това следва (тъй като алгебричните числа наследяват свойства от C), че алгебричните цели числа образуват комутативен пръстен с единство, както е дефинирано в раздел 20.3.

Това обаче не е възможно, защото разделя дясната страна, но не и лявата.

На практика е трудно да се работи в пръстена на всички алгебрични цели числа и ние предпочитаме да работим с по-малки пръстени, като например или. Упражненията в предишния раздел показват, че е идеална среда за доказателство на Ойлер, която има само едно положително решение в

Предимството на пръстените като или е, че те имат концепция за норма, която ни позволява да дефинираме концепцията за просто число и да покажем, че всеки елемент от пръстена има главна факторизация. Уникалността на експанзията в

---