Аксиома на избора и парадокси на наивната теория на множествата
Ако беше възможно да се докаже хипотезата за континуума, то континуумът, непрекъснато беше, като че ли, идентифициран с някакъв добре подреден комплект, би бил, така да се каже, подредени с точки.
Два добре подредени комплекта винаги могат да бъдат сравнени помежду си: картографирайте един към част от другия. Това предполага съпоставимост на редиците, съответстващи на тези множества. И от последното - съпоставимостта на кардиналите, съответстващи на ординалите, т.е. кардиналности. Това означава, че всякакви правомощия - а оттам и силата на континуума, и алефи - са сравними, ако съответните набори могат да бъдат напълно подредени.
Но как да направите това за конкретни набори не е ясно. Вече беше отбелязано, че едномерният континуум, например интервалът от реални числа (0; 1), взет в естествения им ред по големина, не е напълно подреден набор. Множеството рационални числа Q в естествения си порядък по величина също не е добре подредено множество. Но може да се поръча, защото Q е броене набор, т.е. може да се постави в индивидуална кореспонденция с N. По същия начин всеки преброим комплект може да бъде напълно подреден. Но Кантор показа, че континуумът е неизброимо множество.
През 1904 г. Е. Чермело доказа теоремата, че всяко множество може да бъде напълно подредено. Доказателството се основаваше на безобидната идея, че в безкраен набор от множества е възможно да се извърши процедурата за избор на един елемент във всеки от тези множества. Тя получи името аксиоми по избор (или аксиомите на Цермело) и се превърна в една от седемте аксиоми на теорията на множествата, също предложена от Цермело и Фраенкел през 1908 г.
По този начин Zermelo и Fraenkel поставят наивна теория на множествата на аксиоматична основа. Необходимостта от въвеждане на аксиоми е свързана с противоречията на теорията на множествата, измислена специално, за да се открият противоречия в нея. Всички те са конструирани по следната схема: да предположим, че има някакъв обект X. Тогава този обект X едновременно притежава и не притежава някакво свойство. Но точно това означава, че необходимият обект X не съществува. Ето как работи доказателството чрез противоречие.
Парадоксът на Ръсел.Всички фактори факторизираме по този начин: „нерефлектиращи“, тоест тези, които не се съдържат като свой елемент (много крокодили не са крокодил), и „рефлексивни“, съдържащи себе си като свой елемент (много завои). Помислете за множеството от всички нерефлексивни множества. Ако е нерефлективен, тоест не се съдържа като свой елемент, тогава трябва да бъде включен в множеството чрез дефиницията на множеството, тоест рефлексивен е и не влиза в него. Ако е рефлексивен, тоест съдържа себе си като свой елемент и по този начин не е включен в множеството, той е включен в множеството чрез дефиницията на рефлексивен набор. Парадоксът на Ръсел може да бъде формулиран, без да се използва теория на множествата. Ето класическите формулировки.
Брадобрай. Началникът заповядал единственият бръснар в селото да обръсне онези и само онези мъже, които не се бръснат. Трябва ли да се обръсне?
Каталог. Библиотеката реши да състави библиографски каталог, който включва тези и само тези каталози, които не включват себе си. Включва ли такава директория себе си?
Ясно е, че множествата не могат да бъдат дефинирани чрез произволни комбинации от думи, тоест не всяко свойство трябва да дефинира набор. Това включва и понятието "множеството от всички комплекти".
Парадокс на Кантор.Помислете за множеството от всички възможни множества. Трябва да има максимална мощност. Но тогава, според голямата теорема на Кантор за алефама, множеството от всички подмножества на дадено множество има още по-голяма мощност.