2.8), образуван от изрязване на правоъгълника ...
А. Инерционните характеристики на елементарни геометрични фигури
2.1. Правоъгълникът на страните b и h
Този раздел има две оси на симетрия, които следователно ще бъдат основните централни оси y и z. Определете, на разстояние y от оста z, елемент на площ dA, правоъгълна форма и страни b и dy (фиг. 2.3).
Оказва се, че неговата площ ще бъде:
За да се уверите, че подходът към проблема е правилен, изчислете площта на правоъгълника, съгласно дефиницията във връзка (2.1), както следва:
(2.17)
Моментът на инерция около оста (z) е:
(2.18)
По аналогичен начин получаваме:
(2.19)
(2,20)
Забележка: Полярните характеристики са важни и ще се изчисляват само за кръгови секции!
2.2. Кръгът с радиус R и диаметър d
Кръгът има безкрайност на осите на симетрия, така че всеки негов диаметър съвпада с посоката на централна основна ос.
Елементът на площта е избран (фиг. 2.3) под формата на пръстен с радиус r и дебелина (dr), а площта му е: dA = 2 p r dr
(2.21)
Използвайки съотношението (2.8) и равенството Iz = Iy, можем да намерим аксиалните моменти:
(2.22)
Инерционни лъчи: (2.23)
Модули за съпротивление: (2.24)
(2.25)
2.3. Пръстен кръгло сечение със зъб = d и dext = D (фиг. 2.4).
Въз основа на горните резултати инерционните моменти се изчисляват чрез "изваждане" на вътрешния кръг от външния:
(2.26)
(2.27)
Модулите на съпротивление се изчисляват според дефиниционните съотношения (2.15) - (2.16):
(2.28)
(2.29)
2.4. Равнобедреният триъгълник с основа b и височина h
Основните централни оси са тези на фигура 2.5. Елементът на площта е правоъгълен, със страни b (y) и dy. Въз основа на сходството на някои триъгълници може да се запише, че:
Площта на триъгълника и инерционният момент около главната централна ос (z) ще бъде:
Лесно е да се забележи, че в този случай моментът не може да бъде записан по отношение на оста (y) чрез преместване на буквите b и h, тъй като осите имат различни позиции по отношение на страните на триъгълника (оста z е успоредна на една от страните).
За да използвате обаче предишния резултат, направете обозначенията на фигура 2.6, където M е средата на BC, а оста (y1) преминава през центъра на тежестта G1 на триъгълника ABM.
При тези условия моментът Iy1 (ABM) може да бъде намерен с отношение на форма (2.30), след което със съотношението на Steiner (2.9) се изчислява Iy (ABM), както е показано в израза (2.31):
(2,32)
(2,33)
Б. Приложения за други плоски секции
Резултатите, получени в предходната глава, в момента се използват при изчисляването на характеристиките на някои секции, получени от елементарните, или които се разлагат на елементарни повърхности, както е показано по-долу.
2.5. Равностранен страничен триъгълник a (фиг. 2.7)
Забелязва се, че височината на триъгълника може да бъде изразена като функция на страната a, както следва:
Прилагайки съотношения (2.29) и (2.30), могат да се изчислят основните централни моменти на инерция:
От това следва, че в случай на равностраните триъгълници централните моменти на инерция са инвариантни, когато осите се въртят (тъй като техният максимум и минимум всъщност имат еднаква стойност!) Този факт се обяснява, както е показано по-горе, със съществуването на 3-те оси на симетрия на тези повърхности, като всички те са основните централни оси.
2.6. Раздел, съставен от няколко елементарни геометрични фигури
Помислете за сечението, ограничено от точките ABNMQPCD (фиг. 2.8), образувани чрез изрязване на правоъгълника MNPQ от правоъгълника ABCD. Изчислете основните централни моменти на инерция и съпротивителните модули на този раздел.
Забелязва се, че участъкът поддържа хоризонтална ос на симетрия, която ще бъде основната централна ос (z) на секцията. Оста (y) ще бъде перпендикулярна на (z) в центъра на тежестта G на целия участък.
За да се определи позицията по оста (z) на G, се избира ос (y1), например от страната AD на секцията.
С помощта на второто съотношение (2.4) се изчислява желаната координата, като се има предвид, че центровете на тежестта на елементарните правоъгълници са на разстояния (9/2) t, съответно [3t + (6/2) t] от оста ( y1).
Следователно главната централна ос (y) ще има позицията, показана на фигура 2.8.
Ако започнем с изчисляване на момента Iy, като изберем разлагането на участъка в двата правоъгълника, посочени по-горе, ABCD и MNPQ, забелязваме, че никой от тях няма център на тежестта върху глобалната ос (y) на участъка. За да се изчисли техният импулс по отношение на оста (y), ще се приложи отношението на Щайнер, както следва:
За изчисляването на другия основен централен момент това може да се направи по два начина.
а) С разлагането на участъка в двата правоъгълника по-горе
В този случай и двата елементарни правоъгълника имат центъра на тежестта върху главната главна ос (z), така че използването на отношението на Щайнер вече не е необходимо:
б) С разлагането на участъка във „вертикален“ правоъгълник FMQE, с центъра на тежестта на оста (z) и два „хоризонтални“ правоъгълника, ABNF и EPCD (на пунктираните линии на фигура 2.8), имащи центровете на тежестта по осите (z1 ) и (z2), които са основните им централни оси, успоредни на (z).
Глобалният момент по отношение на оста (z) ще бъде:
Внимание: Същият резултат беше получен и по двата метода, но изчислението беше по-трудоемко във втория случай! От това следва, че е важно разлагането на сложни секции да се извършва по начин, който води до най-простите изчисления (което се научава чрез упражнения), като по този начин се намалява вероятността от грешки в изчисленията.
За определяне на якостните модули на глобалната секция се прилага дефиницията на тези величини, като се отбелязва това
zmax = 9t - zG = 9t - (33/10) t = (57/10) t
Следователно греда с напречното сечение на формата и пропорциите на фигура 2.8 ще има максималната якост на якост на огъване, ако е ориентирана с главната централна ос (z) в посока на огъващия момент (т.е. огъването на пръта ще се случи около тази ос).