Теорема на Hausdorff ε-мрежа
Нека [math] X [/ math] е метрично пространство. След това, приемайки критерия на Коши за съществуването на границата на числова последователност като аксиома, стигаме до концепцията завършен метрично пространство: [математика] \ rho (x_n, x_m) \ до 0 \ Rightarrow \ съществува x \ в X: \ \ rho (x, x_n) \ до 0 [/ math]
Например, във връзка с критерия на Коши, [math] \ mathbb [/ math] е пълно метрично пространство.
От особен интерес са крайните [math] \ varepsilon [/ math] -нет.
Нека [math] K [/ math] е компакт.
Да предположим, че [math] K [/ math] не е съвсем ограничен.
Тогава [математика] \ съществува \ varepsilon_0 \ gt 0 \ \ за всички x_1 \ в K \ \ съществува x_2 \ в K: \ \ rho (x_1, x_2) \ ge \ varepsilon_0 [/ math]. Ако няма такава [math] x_2 [/ math], тогава [math] K [/ math] има [math] \ varepsilon_0 [/ math] -net [math] \ [/ math] .
Тогава има [math] x_3: \ \ rho (x_3, x_j) \ ge \ varepsilon_0, j = \ overline [/ math]. Ако нямаше такава [math] x_3 [/ math], тогава [math] K [/ math] щеше да има [math] \ varepsilon_0 [/ math] -net [math] \ [/ math] .
И т.н. Получаваме набор от точки [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math], [math] \ forall i \ ne j: \ \ rho (x_i, x_j) \ geqslant \ varepsilon_0 [/ math] .
Тъй като [math] K [/ math] е компактен, е възможно да изберете конвергентна последователност от тази последователност. Но чрез изграждането на последователността това е невъзможно, имаме противоречие.
[math] K [/ math] - затворен и напълно ограничен.
Помислете за всяка последователност [math] x_n [/ math] в [math] K [/ math]. Нека докажем, че е възможно да се извлече от него сливаща се последователност.
Тъй като множеството е доста ограничено, тогава [math] \ forall \ varepsilon [/ math] ще се съдържа в крайния съюз на топки с радиус [math] \ varepsilon [/ math] .