Статистическа популация
4. Статистическа популация. стълбовидна диаграма
При голям брой наблюдения представянето на данни под формата на статистическа поредица може да бъде трудно и при решаване на редица проблеми е непрактично. В такива случаи резултатите от наблюдението се отчитат в групи и се съставя таблица, която посочва групите и честотите, получени в резултат на наблюдението във всяка група. Наборът от групи, на които са разделени резултатите от наблюденията и честотите, получени във всяка група, съставляват статистическата популация, която е представена по-долу.
Графичното представяне на статистическа популация се нарича хистограма. Хистограмата се изгражда, както следва. Абсцисата показва интервалите, съответстващи на групите от популацията, и върху всяка от тях е изграден правоъгълник, чиято площ е равна на честотата на тази група. От конструкцията следва, че площта на сумата на всички правоъгълници е равна на единица. Очевидно е, че ако гладко свържете точките на хистограмата, тогава тази крива ще бъде първото приближение към плътността на разпределение на случайната променлива X.
Ако броят на експериментите се увеличи и в статистическата популация бъдат избрани по-малки групи (малки интервали на фигурата), тогава получената хистограма все повече ще се приближава до плътността на разпределение на случайната променлива X. Статистическата популация може също да се използва за изграждане приблизителна функция на разпределение F * (x) като се избират като стойности на случайна променлива граничните стойности на групите.
Pi *
5. Метод с максимална вероятност за намиране на оценки на параметрите на плътността на разпределение
Методът за максимална вероятност се основава на представянето на извадка с размер n като n-мерна случайна променлива (X1, X2,. Xn), където те се разглеждат като независими случайни променливи със същата плътност на разпределение f (x). Плътността на разпределение на такава n-мерна случайна променлива се нарича функция на вероятността L (x1, x2,. Xn), която поради независимостта на случайните променливи е равна на произведението на плътностите на разпределение на случайните променливи X1, X2,. Xn:
От това следва, че всяка функция y = y (x1, x2,. Xn) от стойностите на пробата x1, x2,. xn, наречена статистика, може да бъде представена като случайна променлива, чието разпределение се определя еднозначно от функцията за вероятност.
Помислете за метод за намиране на оценки на параметри от експериментални данни, който използва функцията за вероятност.
Нека f (x; a) е плътността на разпределение на случайна променлива X (обща популация), в зависимост от параметъра a. Функцията за вероятност също ще зависи от параметъра a и ще има формата
Същността на метода за максимална вероятност е да се намери такава стойност на параметъра a, при която функцията за вероятност L (x1, x2,. Xn, a) ще бъде максимална. За това е необходимо да се реши уравнението
и намерете стойността на a, при която функцията L (x1, x2,. xn, a) достига своя максимум. За да се опростят изчисленията, обикновено се максимизира естественият логаритъм на функцията за вероятност, използвайки факта, че
Ако няколко параметъра a1, a2 са неизвестни., аm, тогава функцията на вероятността зависи от m променливи L = L (x1, x2,. xn; а1, а2,., ам) и m уравненията са решени
Пример. Нека сумата от два сигнала пристигне на входа на приемащото устройство: Y (t) = X + Z (t), където X е неизвестен независим от времето сигнал, а Z (t) е произволна намеса. По време на t1, t2,., tn се правят измервания на стойността Y (t). Въз основа на експерименталните данни (проба) y1 = y (t1), y2 = y (t2),., yn = y (tn), трябва да намерите приблизителната стойност на сигнала X.