Постепенно интегриране на поредицата на Фурие
Тук ще разгледаме [math] f \ in L_1 [/ math], [math] \ sigma (f, x) = \ frac2 + \ sum \ limit _ ^ \ infty (a_n \ cos nx + b_n \ sin nx) [/математика]
Нека [math] F (x) = \ int \ limit_0 ^ x \ left (f (t) - \ frac2 \ right) dt [/ math] .
Нека докажем, че [math] F (x) \ in \ bigvee [/ math]:
Необходимо е да се докаже [math] 2 \ pi [/ math] -периодичността на [math] F [/ math] и ограничеността на нейното изменение.
Нека създадем дял от нашия обхват: [math] - \ pi = x_0 \ lt \ dots \ lt x_p = \ pi [/ math]. След това вариацията
Тъй като това е вярно за всеки дял, [math] \ bigvee \ limit _ ^ \ pi (F) \ le \ int \ limit_Q \ left | f (t) - \ frac2 \ right | \ lt + \ infty [/ math]. Така че [math] F [/ math] има ограничени вариации на [math] Q [/ math] .
[математика] F (x + 2 \ pi) = \ int \ limite_0 ^ = \ int \ limite_0 ^ x + \ int \ граници_x ^ [/ математика]
Под интегралния знак [math] 2 \ pi [/ math] е периодична функция, така че [math] \ int \ limit_x ^ = \ int \ limit _ ^ \ pi \ left (f (t) - \ frac2 \ right ) dt [/ math] [math] = \ int \ limit _ ^ \ pi f - \ pi a_0 [/ math] = [по дефиниция [math] a_0 [/ math]] [math] \ pi a_0 - \ pi a_0 = 0 [/ математика]
[math] \ int \ limit_0 ^ x = F (x) \ Rightarrow F (x + 2 \ pi) = F (x) [/ math]
И така, [math] F \ in \ bigvee [/ math]. Следователно, според теоремата на Джордан, редицата на Фурие на тази функция се сближава във всяка точка, [math] \ sigma (F, x) = \ frac2 [/ math]
Поради абсолютната приемственост на интеграла на Лебег е лесно да се разбере, че [math] F [/ math] е непрекъснато и [math] F \ в CV [/ math], а също така, [math] \ sigma (F, x) = F (x) [/ математика]
Сега нека изчислим коефициентите на Фурие [math] F [/ math]. [math] a_0 (F) [/ math] засега няма да се брои. Да предположим също (ще докажем това по-късно), че [math] F [/ math] за почти всички [math] x [/ math] е диференцируем по отношение на горната граница на интегриране, а стойността на производната е [math] f (x) [/ математика] .
[математика] a_n (F) = \ frac1 \ pi \ int \ limit _ ^ \ pi F (x) \ cos nx dx = \ frac1 \ int \ limit _ ^ \ pi F (x) d (\ sin nx) = [/ math] [math] \ frac1 (F (x) \ sin x) \ bigl | ^ \ pi_ - \ int \ limit _ ^ \ pi \ sin nx dF (x)) = [/ math] [math] \ frac1 (0 - \ int \ limit _ ^ \ pi \ sin x dF (x)) = - \ frac1 \ int \ limit _ ^ \ pi \ sin nx dF (x) = [/ math] [math] - \ frac1 \ int \ limit_ ^ \ pi f (x) \ sin nx dx = - \ frac = - \ frac [/ math]