Диференциални уравнения в симетрична форма и в общи диференциали

Изследването на диференциални уравнения от първи ред във формата, разрешена по отношение на производната, въвежда асиметрия в

диференциали

Глава 1. Основни понятия

Фигура: 1.4. Например 1.4.1: графики на функции y 1 (t) = C 2 - t 2 и y 2 (t) =

променливи t и y, тъй като предполага, че y е функция от t. От гледна точка на интегралните криви, които са графики на решения на диференциални уравнения, няма голяма разлика в избора на метода за параметризиране. Тоест, заедно с y = y (t), е възможно t = t (y) или, в общия случай, t = ϕ (τ), y = ψ (τ), където τ е параметърът.

Целесъобразността на избора на симетрична параметризация е показана от следния пример.

Пример 1.4.1. Помислете за диференциалното уравнение

Неговите решения на интервала [−C + ε, C - ε] за 0 0, (t, y) D.

Уравнение (1.11) е по-общо от уравнение (1.7), тъй като последното уравнение може да бъде записано във формата (1.11) с функциите M (t, y) = f (t, y), N (t, y) = -1.

Нека дадем дефиницията на решение на уравнение (1.11). Тъй като променливите влизат в него симетрично, естествено е да се даде дефиницията на решението в параметрична форма.

Определение 1.4.1. Двойка функции t = ϕ (τ), y = ψ (τ) се нарича параметрично решение на уравнението в симетрична форма (1.11) на интервала [τ 1, τ 2], ако:

1. функциите ϕ (τ), ψ (τ) са непрекъснато диференцируеми на [τ 1, τ 2] и

| ϕ 0 (τ) | + | ψ 0 (τ) | > 0, τ [τ 1, τ 2];

2. (ϕ (τ), ψ (τ)) D, τ [τ 1, τ 2];

3. замествайки t = ϕ (τ), y = ψ (τ) в (1.11), получаваме идентичност, т.е.

M (ϕ (τ), ψ (τ)) ϕ 0 (τ) + N (ϕ (τ), ψ (τ)) ψ 0 (τ) = 0, τ [τ 1, τ 2]. (1,13)

Нека t = ϕ (τ), y = ψ (τ) е параметрично решение на уравнение (1.11). Интегрална крива на уравнение в симетрична форма е набор от точки на равнината (t, y), така че t = ϕ (τ), y = ψ (τ), τ [τ 1, τ 2].