Алгебкодове (1) - Страница 7
2.9. Разлагане на група в подгрупа
2.9. Свързани класове.
Разлагане на група в подгрупа
Нека H = подгрупа на група G и G.
Определение 2.9.1. Множеството aH =
се нарича ляв (ляв) косет на група G, от подгрупа H. Множеството Ha се нарича десния, (десен) косет на група G, от подгрупа
Помислете за последователност от косети:
a 0 H, a 1 H, a 2 H,. ... ..., a j H, . . .
a 0 H, a i/H, i = 1, 2, . . .
Изявление 2.9.2. Всеки косет се дефинира от някой от неговите елементи.
Вземете произволен елемент ah j aH. Тогава
Тъй като h j h i H и тъй като по дефиницията на групата уравнението h j x = h k е разрешимо, т.е. за всеки h k H има такъв
h i H, така че h k = h - j 1 h i, тогава дясната страна в (2.9.3) и (2.9.4)
съвпадат до реда (пермутацията) на елементите. това предполага
Изявление 2.9.3. Съседните класове или не се припокриват, или съвпадат. Това означава, че за дадена подгрупа
H G всеки елемент a G принадлежи точно на един косет.
Цялата група G се разделя на несъчетани множества по отношение на подгрупата H .
G = a 0 H a 1 H a 2 H. ... ... a j H . . .,
Глава 2. Елементи от теорията на групите, пръстените и полетата
Изявление 2.9.4. Всички съседни класове са равни,
тъй като кореспонденцията ah i bh i, която се отнася за всяко i, установява едно към едно картографиране от aH към bH.
Терминът "еквипотентно" се използва в смисъл, че косетите имат един и същ ред, ако са крайни, или имат еднаква мощност, ако са безкрайни. например,
безкрайна група от цели числа има подгрупа от числа, кратни на m, и краен набор от класове остатъци-
нула m е разлагането на групата от цели числа в споменатата подгрупа. Всеки клас на приспадане е съвкупност и то
безкраен. Всички тези косети имат една и съща мощност: те са преброени.
Изявление 2.9.5. Два елемента a и b принадлежат към едно и също множество, ако и само ако a - 1 b H.
ДОКАЗАТЕЛСТВО. Нека a - 1 b H, тогава това означава,
a (a - 1 b) = b aH,
тези. b принадлежи на косета aH, дефиниран от елемента a.
Обратно, нека h i H. Поставете b = ah i, т.е. b принадлежи на косета aH, дефиниран от елемента a. (Това означава, че a и b принадлежат към една и съща група.) Тогава
a - 1 b = a - 1 ah i = h i H,
Изявление 2.9.6. С изключение на самата подгрупа H, нейните косети не са групи.