2 Нови решения на проблеми
Списък със задачи с решения за функционален анализ.
1) Позволявам е нормирано линейно пространство. Докажете, че за всички елементи неравенството.
от аксиомите на нормата:
2) Възможно ли е да се вземе нормата на елемента в пространството:
А);
Б);
° С)
Д)
Д)
А) Да, защото: 1.
Б) Невъзможно е, тъй като първата аксиома на нормата не е изпълнена:
В) Невъзможно е, тъй като първата аксиома на нормата не е изпълнена. Да вземем
Г) Можете, защото:
Д) Можете, защото:
непрекъснатост Обратно
твърдението е очевидно. 2.
3) Ще има ли набор от всички полиноми в пространството
А) Множеството от всички полиноми в пространството
не е отворен, така че
както според теоремата на Fejer, всяка непрекъсната функция на интервал може да бъде равномерно апроксимирана чрез средствата на Цезаро, които не са алгебрични полиноми. Следователно съседството на която и да е точка от множеството съдържа елемент, който не принадлежи към множеството.
Б) Множеството от всички полиноми в пространството
не е затворен.
Помислете за пример, функция
може да се апроксимира с частични суми от редицата
Тейлър, които са алгебрични полиноми. Следователно,
набор от всички полиноми в пространството
не съдържа всички ограничения
точки, така че не е затворено.
4) Докажете, че всяко крайномерно линейно многообразие в нормирано линейно пространство е подпространство.
По дефиниция линейното подпространство, принадлежащо на нормирано линейно пространство, е линейно многообразие, ако е затворено по отношение на сближаването в нормата; следователно е достатъчно да се докаже, че в линейно
нормирано пространство крайномерно линейно многообразие
Нека докажем чрез противоречие. Нека бъде
помислете за затворена топка
- краен размер, затворен, ограничен.
според неравенството на триъгълника
това противоречи на предположението, че. Следователно той е затворен и е подпространство
5) Позволявам е нормирано линейно пространство,
. Докажете, че не съдържа топка.
Нека докажем чрез противоречие. Нека бъде
начин, стигна до противоречие.
6) Дали следните набори от функции образуват подпространство в пространството:
А) монотонни функции Б) четни функции;
Г) непрекъснати линейни функции на парчета?
А) Не формирайте, тъй като ако обмислим, тогава
- не е монотонен.
Б) Наборът от четни функции образува линеен колектор, тъй като
затворена от противоположната. Нека бъде
- противоречие. Следователно множеството от четни функции образуват подпространството.
В) Не образувайте подпространство, тъй като множеството полиноми в пространството не са затворени.
Г) Не образувайте, тъй като наборът от непрекъснати частично линейни функции не го прави
е затворен в
не е затворен.
7) Образуват ли се в пространството C [-1,
1] подпространството на следните набори от функции:
А) полиноми със степен ≤k;
Б) непрекъснато диференцируеми функции;
В) непрекъснати функции с ограничени вариации;
Г) функции, отговарящи на условието?
А) Да. Набор от полиноми на степен